Cho tam giác ABC có trọng tâm G:? Chứng minh: a) ma2 + mb2 + mc2 =3/4(a2 +b2+c2) với ma, mb,mc là đường trung tuyến b) GA2 + GB2+ GC2 <= 3R2 C) ma + mb + mc =9/2R

Xét $∆ABC$ có trọng tâm $G$.
Vẽ hình bình hành $ABDC$
Đặt $BC = a$; $AB = c$; $BD = CA = b$;

$AD = 2m_a$; $GA = \dfrac{2}{3}m_a$;
$\cos\widehat{ABD} = \cos(180^o -\widehat A) = - \cos\widehat A$;
$\cos(\widehat A + \widehat B) = \cos (180^o - \widehat C) = - \cos C$

a) Áp đụng định lý hàm số Cosin lần lượt cho $∆ABC$ và $∆ABD$ ta có:
$BC² = CA² + AB² - 2CA.AB.\cos\widehat A$

$ \Leftrightarrow  2bc.\cos\widehat A = b² + c² - a²$
$AD² = AB² + BD² - 2AB.BD.\cos\widehat{ABD}$

$ \Leftrightarrow  4{m_a}² = b² + c² + 2bc.\cos\widehat A = 2b² + 2c² - a²$ (1)
Tương tự: $4{m_b}² = 2c² + 2a² - b²$ (2);

$4{m_c}² = 2a² + 2b² - c²$ (3)
Lấy (1) + (2) + (3) vế với vế ta có :
$4({m_a}² + {m_b}² + {m_c}²) = 3(a² + b² + c²) $
$\Leftrightarrow {m_a}² + {m_b}² + {m_c}² = \dfrac{3}{4}(a² + b² + c²)$

b) Xét tổng:
$\sin²\widehat A + \sin²\widehat B + \sin²\widehat C = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2\widehat A) + \dfrac{1}{2}(1 - \cos2\widehat B) + (1 - \cos²\widehat C)$

$ = 2 - \cos²\widehat C - \cos(\widehat A + \widehat B)\cos(\widehat A - \widehat B)$

$ = 2 - \cos²\widehat C + \cos \widehat C\cos(\widehat A - \widehat B)$

$ = \dfrac{9}{4} - \dfrac{1}{4}\sin²(\widehat A - \widehat B) - [\cos \widehat C - \dfrac{1}{2}\cos(\widehat A - \widehat B)]² ≤ \dfrac{9}{4}$ (*)
Do đó theo câu a) áp dụng định lý hàm số sin và theo (*) ta có:
$GA² + GB² + GC² = \dfrac{9}{4}({m_a}² + {m_b}² + {m_c}²)$

$ =\dfrac{1}{3}(a² + b² + c²) $

$= \dfrac{1}{3}[(2R\sin\widehat A)² + (2R\sin\widehat B)² + (2R\sin\widehat C)²] $

$= \dfrac{4R²}{3}(\sin²\widehat A + \sin²\widehat B + \sin²\widehat C) ≤ \dfrac{9}{4}\dfrac{4R²}{3} = 3R²$
Theo (*) Dấu = xảy ra khi

$\sin(A - B) = \cos C - \dfrac{1}{2}\cos(A - B) = 0 $

$\Leftrightarrow  A = B; \cos C = \dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow  ∆ABC$ đều
 
c) Áp dụng BĐT $(x + y + z)² ≤ 3(x² + y² + z²)$ và Theo câu b)
$(m_a + m_b + m_c)² = \dfrac{9}{4}(GA + GB + GC)² ≤ \dfrac{27}{4}(GA² + GB² + GC²) ≤ \dfrac{84}{4}R²\Rightarrow m_a + m_b + m_c ≤\dfrac{9}{2}R$
Dấu "=" xảy ra khi ∆ABC đều