Bác Năm dự định trồng ngô và đậu xanh trên một mảnh đất có diện tích 8 ha. Nếu trồng 1 ha ngô thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng. Nếu trong 1 ha đậu xanh thì cần 30 ngày công và thu được 50 triệu đồng. Bác Năm cần trong bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng, bác Năm chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho việc trồng ngô và đậu xanh. TRÌNH BÀY CHI TIẾT

Đáp án: `340`

Giải thích các bước giải:

Gọi `x` là số ha đất trồng ngô và y là số ha đất trồng đậu xanh.

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với `x,y` như sau:

Hiển nhiên `x≥0,y≥0.`
Diện tích canh tác không vượt quá `8` ha nên `x+y≤8`.
Số ngày công sử dụng không vượt quá `180` nên `20x+30y≤180`.

Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục toạ độ `Oxy`, ta được miền tứ giác `OABC `

Gọi `D` là miền tứ giác `OABC,` toạ độ các đỉnh của `D` là: `O(0;0),A(0;6), B(6;2),C(8;0).`
Gọi `F` là số tiền (đơn vị: triệu đồng) bác Năm thu được, ta có: `F=40x+50y.`

Bài toán trở thành

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức `F=40x+50y,` với `(x,y)` là một điểm thuộc miền đa giác `D`

Lúc này, với mỗi giá trị thực của `F`, ta thấy phương trình `40x+50y=F` có đồ thị là đường thẳng

Khi đó, nghiệm của bài toán là giá trị `F` lớn nhất sao cho đường thẳng `40x+50y=F` giao với miền `D` khác rỗng. Từ hình vẽ, xét trên miền `D=OABC` ta thấy

max`DF=340` tại `B(6;2)`

Như vậy trong bài toán này, biểu thức `F` đạt giá trị lớn nhất trên miền `D` tại một trong các đỉnh của tứ giác `OABC,` ta có:

Tại `O(0;0):FO=40.0+50.0=0;`
Tại `A(0;6):FA=40.0+50.6=300;`
Tại `B(6;2):FB=40.6+50.2=340;`
Tại `C(8;0):FC=40.8+50.0=320.`

Lúc này,max`DF=`max`{FO,FA,FB,FC}=FB=340.`