x^2 - 2mx + m - 1 = 0 Với giá trị nào của m thì PT có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn "căn x1 + căn x2 = 2" Mn giúp mình ạ, cảm mơn nhìu !!!

Đáp án:

$m=\dfrac{5-\sqrt5}{2}$

Giải thích các bước giải:

$x^2-2mx+m-1=0$

$\Delta'=m^2-m+1=\left({m-\dfrac12}\right)^2+\dfrac34>0$ $\forall m$

$\Rightarrow $ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ theo Vi-et ta có:

$\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=m-1\end{cases}$

$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=2$ (*)

Điều kiện xác định $ x_1, x_2\ge0$

$\Rightarrow\begin{cases}2m\ge0\\m-1\ge0\end{cases}\Rightarrow m\ge1$ (1)

Bình phương hai vế phương trình (*)

$\Rightarrow x_1+x_2+2\sqrt{x_1.x_2}=4$

$\Rightarrow 2m+2\sqrt{m-1}=4$

$\Rightarrow \sqrt{m-1}=2-m$ $(2-m\ge0)$ (2)

$\Rightarrow m-1=(2-m)^2$

$\Rightarrow m^2-5m+5=0$

$\Delta=25-4.5=5$

$\Rightarrow m=\dfrac{5-\sqrt5}{2}$ thỏa mãn (1) và (2) (nhận)

hoặc $m=\dfrac{5+\sqrt5}{2}>2 $ (loại)

Vậy $m=\dfrac{5-\sqrt5}{2}$ thỏa mãn đề bài.