Tìm các số nguyên dương `a,b,c` sao cho `[(ab - 1).(bc - 1).(ca - 1)]/[abc]` là `1` số nguyên

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 Đặt $N=\dfrac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}=abc-a-b-c+\dfrac{ab+bc+ca-1}{abc}$

$N \in Z \Rightarrow \dfrac{ab+bc+ca-1}{abc} \in Z$

$\Rightarrow ab+bc+ca-1$ chia hết $abc$

$\Rightarrow ab+bc+ca-1 \geq abc$ (1)

Do vai trò của $a;b;c$ hoàn toàn như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử $a \geq b \geq c$

$\Rightarrow ab+bc+ca-1<ab+bc+ca \leq ab+ab+ab=3ab$ (2)

$(1);(2) \Rightarrow 3ab > abc \Rightarrow c < 3$

$\Rightarrow c=1$ hoặc $c=2$

Thế vào (1):

- Trường hợp 1: $c=1 \Rightarrow ab+a+b-1$ chia hết $ab$

$\Rightarrow a+b-1$ chia hết $ab$

$\Rightarrow a+b-1 \geq ab$

$\Rightarrow ab-a-b+1\leq 0 \Rightarrow (a-1)(b-1) \leq 0$

$\Rightarrow a=1$ hoặc $b=1$

- Trường hợp 2: $c=2 \Rightarrow \dfrac{ab+2a+2b-1}{2ab}=k$ nguyên dương

Nếu $k \geq 2 \Rightarrow ab+2a+2b-1 \geq 4ab$

$\Rightarrow (3a-2)(3b-2) \leq 1$ vô lý do $a \geq b \geq c=2$ nên $(3a-2)(3b-2) \geq 16$

$\Rightarrow k=1 \Rightarrow ab+2b+2b+1=2ab$

$\Rightarrow ab-2a-2b+1=0 \Rightarrow (a-2)(b-2)=3$

$\Rightarrow (a;b)=(3;5);(5;3)$

Vậy để biểu thức đã cho nguyên thì $(a;b;c)=(1;1;n);(2;3;5)$ và các hoán vị của chúng, với $n$ là số nguyên dương bất kì