x² - (2m + 3)x + m - 3 = 0 Tìm m để x1 , x2 đều là số nguyên

Đáp án:

$m=\{-\dfrac{11}2;\dfrac72\}$

Lời giải:

$x² - (2m + 3)x + m - 3 = 0$
$Δ = (2m + 3)² - 4.1(m - 3) = 4m² + 8m + 21 = 4(m + 1)² + 17 > 0$
$⇒$ Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1< x_2$ (giả sử) theo Vi-et ta có:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2m + 3\\ x_1x_2 = m - 3\end{cases}⇔\begin{cases} 2x_1 + 2x_2 = 4m + 6 \text{ (1)}\\ 4x_1x_2 = 4m - 12\text{ (2)}\end{cases}$
Lấy (1) - (2) ta có:

$4x_1x_2 - 2x_1 - 2x_2 = - 18$

$⇔ (2x_1 - 1)(2x_2- 1) = 17$
Vì $x_1; x_2$ nguyên

$⇒ (2x_1 - 1)$ và $(2x_2- 1)$ nguyên và 17 là số nguyên tố nên chỉ có 2 trường hợp:
Th1:

$\begin{cases}2x_1 - 1 = - 17 ⇔ x_1 = - 8\\2x_2 - 1 = - 1 ⇔ x_2 = 0\end{cases}$
Thay vào (1) $⇒ 2m + 3 = - 8 ⇔ m = - \dfrac{11}2$
TH2:
$\begin{cases} 2x_1 - 1 = 1 ⇔ x_1 = 1\\ 2x_2 - 1 = 17 ⇔ x_2 = 9\end{cases}$
Thay vào (1) $⇒ 2m + 3 = 10 ⇔ m = \dfrac72$
Vậy $m=\{-\dfrac{11}2;\dfrac72\}$ thỏa mãn đề bài.