Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi I, K là hình chiếu của H trên AB, AC. a) Chứng minh: AI . IB + AK . KC = HB . HC b) Chứng minh: HI . HK . BC = AH^2 c) Chứng minh: $\frac{AB^ 2}{AC^2}$ = $\frac{BH^2}{AH . CH}$

Giải thích các bước giải:

a.Vì $HI\perp AB, HK\perp AC, AB\perp AC\to AIHK$ là hình chữ nhật

$\to AH=IK, HI\perp HK$

Ta có: $\Delta AHB$ vuông tại $H, HI\perp AB$

$\to AI\cdot IB=IH^2$

Ta có: $\Delta AHC$ vuông tại $H, HK\perp AC$

$\to AK\cdot KC=HK^2$

Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A, AH\perp BC$

$\to HB\cdot HC=AH^2$

$\to AI\cdot IB+AK\cdot KC=HI^2+HK^2=IK^2=AH^2=BH\cdot HC$

b.Ta có:

$AH^2=HB\cdot HC$

$\to (AH^2)^2=(HB\cdot HC)^2$

$\to AH^4=HB^2\cdot HC^2$

$\to AH^4=(BI\cdot BA)\cdot (CK\cdot CA)$

$\to AH^4=BI\cdot KC\cdot AB\cdot AC$

$\to AH^4=BI\cdot KC\cdot AH\cdot BC$

$\to AH^3=BI\cdot KC\cdot BC$

Ta có: $HI//AC(\perp AB), HK//AB(\perp AC)$

$\to \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{HC}{HB}=\dfrac{KC}{AK}$

$\to BI\cdot KC=IA\cdot AK=HI\cdot HK$

$\to AH^3=HI\cdot HK\cdot BC$

c.Ta có:

$\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{BH^2}{BH\cdot CH}$