Gỉa sử n là số tự nhiên lớn hơn 1 sao cho 8n+1 và 24n+1 là số chính phương Chứng minh 8n+3 là hợp số

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Gọi $ a; b$ nguyên dương thỏa mãn:

$ 8n + 1 = a^{2} <=> 32n + 4 = 4a^{2} (1)$

$ 24n + 1 = b^{2} (2) $

$ (1) - (2) : 8n + 3 = 4a^{2} - b^{2} = (2a - b)(2a + b) (*)$

Vì $ 2a - b < 2a + b $ nên ta cần cm $2a - b >= 2$

Giả sử $ : 2a - b = 1 <=> 2a = b + 1 $

$ <=> 4a^{2} = b^{2} + 2b + 1$

$ <=> 4a^{2} - b^{2} = 2b + 1$

$ <=> 8n + 3= 2b + 1$

$ <=> b = 4n + 1 $

$ <=> b^{2} = 16n^{2} + 8n + 1 (3)$

$ (2); (3) => 16n^{2} + 8n + 1 = 24n + 1$

$ <=> 16n^{2} = 24n <=> 2n = 3 $ vô lý

$ => 2a - b >= 2$

$ (*) => 8n + 3$ là hợp số