Cho nửa đường tròn ( O; R ) đường kính AB. kẻ các tiếp tuyến tại A và B với nửa đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B ) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến taị A và B lần lượt tại C và D a. CM rằng: CD = CA + BD, góc COD = 90 độ b. CM rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

`*a,` Theo bài ra ta có : `AC` và `MC` là tiếp tuyến của đường tròn tâm `O` tại tiếp điểm `A` và `M` cắt nhau tại `C` :

⇒ `AC = CM` và `hat{AOC} = hat{COM}` [Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]

Lại có : `MD` và `BD` là tiếp tuyến của đường tròn tâm `O` tại tiếp điểm `M` và `B` cắt nhau tại `D`

⇒ `DM = DB` và `hat{MOD} = hat{DOB}` [Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]

Mặt khác : `CD = CM + MD` 

Mà `CM = AC` [cmt] ; `MD = DB` [cmt]

⇒ `CD = AC + BD` [đpcm]

`*b,` Do `A, O, B` thẳng hàng [ `AB` là đường kính đường tròn tâm `O` ]

⇔ `hat{AOC} + hat{COM} + hat{MOD} + hat{DOB} = 180^o`

Mà `hat{AOC} = hat{COM}` [cmt] ; `hat{MOD} = hat{DOB}` [cmt]

⇔ `2 hat{COM} + 2 hat{MOD} = 180^o`

⇔ `hat{COM} + hat{MOD} = 90^o`

⇔ `hat{COD} = 90^o` [đpcm]

`*c,` Gọi `E` là trung điểm của `CD` 

Mà `ΔCOD` vuông tại `O` [cmt]

⇒ `ΔCOD` nội tiếp đường tròn tâm `E` bán kính `CD`

⇒ `O` thuộc đường tròn tâm `E` bán kính `CD` [1]

Có `AC` là tiếp tuyến đường tròn tâm `O` ⇒ `AC ⊥ AB` [tính chất tiếp tuyến ] *

+, `BD` là tiếp tuyến đường tròn tâm `O` ⇒ `DB ⊥ AB` [tính chất tiếp tuyến ] **

Từ * và ** ⇒ `AC` `/``/` `DB`

Xét tứ giác `CDBA` ta có : `AC` `/``/` `DB`

⇒ `CDBA` là hình thang

Xét hình thàng `CDBA` ta có :

`EC = ED` [Do `E` là trung điểm `CD` ]

`AO = OB` [gt]

⇒ `EO` là đường trung bình hình thang `CDBA`

⇒ `EO` `/``/` `AC`

⇒ `EO ⊥ AB` [Do `AC ⊥ AB` ] [2]

Từ [1] và [2] ⇒ `AB` là tiếp tuyến của đường tròn đường kính `CD` tại tiếp điểm `O` [Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến]