2
4
Hãy luôn nhớ cảm ơn và vote 5*
nếu câu trả lời hữu ích nhé!
12082
11612
$\\$
a,
Theo BĐT Cauchy Schwarz ta có:
$(x+y)^2\le 2(x^2+y^2)=2.1=2\Rightarrow -\sqrt{2}\le x+y\le \sqrt{2}$
$\\$
b,
Theo BĐT Cauchy ta có:
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}},\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge \dfrac{2}{\sqrt{yz}},\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\ge \dfrac{2}{\sqrt{xz}}\\\Rightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}$
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
51
151
Đáp án + Giải thích các bước giải:
a)Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:
$2xy\leq x^2+y^2$
$⇔x^2+y^2+2xy\leq 2x^2+2y^2$
$⇔(x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)$
$⇔(x+y)^2\leq 2\text{ (vì $x^2+y^2=1$)}$
$⇔|x+y|\leq \sqrt2$
\(⇔\left[ \begin{array}{l}x+y\leq \sqrt2\\-(x+y)\leq \sqrt2\end{array} \right.\)
\(⇔\left[ \begin{array}{l}x+y\leq \sqrt2\\x+y\geq -\sqrt2\end{array} \right.\)
$\Longleftrightarrow-\sqrt2\leq x+y \leq\sqrt2\text{ (Kết luận phải chứng minh)}$
b)Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số x,y,z dương, ta được:
$\begin{cases} \dfrac1x+\dfrac1y\geq2.\sqrt{\dfrac1x.\dfrac1y}=2.\sqrt{\dfrac{1}{xy}}=\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\\\dfrac1y+\dfrac1z\geq2.\sqrt{\dfrac1y.\dfrac1z}=2.\sqrt{\dfrac{1}{yz}}=\dfrac{2}{\sqrt{yz}}\\\dfrac1z+\dfrac1x\geq2.\sqrt{\dfrac1z.\dfrac1x}=2.\sqrt{\dfrac{1}{zx}}=\dfrac{2}{\sqrt{zx}} \end{cases}$
$⇒(\dfrac1x+\dfrac1y)+(\dfrac1y+\dfrac1z)+(\dfrac1z+\dfrac1x)\geq\dfrac{2}{\sqrt{xy}}+\dfrac{2}{\sqrt{yz}}+\dfrac{2}{\sqrt{zx}}$
$⇔\dfrac2x+\dfrac2y+\dfrac2z\geq\dfrac{2}{\sqrt{xy}}+\dfrac{2}{\sqrt{yz}}+\dfrac{2}{\sqrt{zx}}$
$⇔2.(\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z)\geq2.(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}})$
$⇔\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z\geq\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}$
+)Đẳng thức xảy ra nếu ta có:
$\begin{cases} \dfrac1x=\dfrac1y\\\dfrac1y=\dfrac1z\\\dfrac1z=\dfrac1x \end{cases}$
$⇔\begin{cases} x=y\\y=z\\z=x \end{cases}$
$⇔x=y=z$
Vậy có điều phải chứng minh và đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
Bảng tin
202
1018
184
https://hoidap247.com/cau-hoi/5033075
51
3873
151
Theo bất đẳng thức Cauchy thì $\dfrac1x+\dfrac1y\geq\dfrac{4}{x+y}=\dfrac{2}{\sqrt{x+y}}$
10
1553
13
https://hoidap247.com/cau-hoi/5034319