163

a)

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ là $\overrightarrow{{{n}_{{{\Delta }_{1}}}}}=\left( \sqrt{3};\,1 \right)$.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${{\Delta }_{2}}$ là $\overrightarrow{{{n}_{{{\Delta }_{2}}}}}=\left( 1;\,\sqrt{3} \right)$.

$\mathrm{Cosin}$góc giữa hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$ là:

$\cos \left( {{\Delta }_{1}},\,{{\Delta }_{2}} \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{{{\Delta }_{1}}}}},\overrightarrow{{{n}_{{{\Delta }_{2}}}}} \right) \right|=\dfrac{\left| \sqrt{3}.1+1.\sqrt{3} \right|}{\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+1}.\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+1}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$\Rightarrow \,\left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}} \right)=30{}^\circ $.

Vậy góc giữa hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$ là $30{}^\circ $.

b)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng ${{d}_{1}}$ là $\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=\left( 2;\,4 \right)$ nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${{d}_{1}}$ là $\overrightarrow{{{n}_{{{d}_{1}}}}}=\left( 2;\,-1 \right)$.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng ${{d}_{2}}$ là $\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=\left( 1;\,-3 \right)$ nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${{d}_{2}}$ là $\overrightarrow{{{n}_{{{d}_{2}}}}}=\left( 3;\,1 \right)$.

Cosin góc giữa hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là:

$\cos \left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{{{d}_{1}}}}},\overrightarrow{{{n}_{{{d}_{2}}}}} \right) \right|=\dfrac{\left| 2.3-1.1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}.\sqrt{{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{5}{5\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

$\Rightarrow \left( {{d}_{1}},\,{{d}_{2}} \right)=45{}^\circ $.

Vậy góc giữa hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là $45{}^\circ $.