Cho ` Δ ABC , E` là trung điểm `BC , I` là trung điểm `AB .` Gọi `D , I , J , K` lần lượt là các điểm thỏa mãn `\vec{BE} = 2\vec{BD} , \vec{AJ} = 1/2 \vec{IC} , \vec{IK} = m \vec{IJ} .` Tìm `m` để `A , K , D` thẳng hàng `A. m = 5/6` `B. m = 1/3` `C. m = 1/2` `D. m = 2/5`

Vì `A,K,D` thẳng hàng `=>` Giả sử `\vec{AK}=n\vec{AD}`
$\bullet$ Có: `\vec{IK}=\vec{IA}+\vec{AK}`
`=-1/2\vec{AB}+n\vec{AD}`
`=-1/2\vec{AB}+1/2n(\vec{AB}+\vec{AE})`
`=(1/2n-1/2)\vec{AB}+1/2n\vec{AE}`
`=(1/2n-1/2)\vec{AB}+1/2n . 1/2(\vec{AB}+\vec{AC})`
`=(3/4n-1/2)\vec{AB}+1/4n\vec{AC}`

~~~~~~
$\bullet$ Có:`\vec{IJ}=\vec{IK}+\vec{KJ}`

`=\vec{IK}+\vec{KA}+\vec{AJ}`

`=\vec{IK}-n\vec{AD}+1/2\vec{IC}`

`=\vec{IK}-1/2n(\vec{AB}+\vec{AE})-1/2 . 1/2(\vec{CA}+\vec{CB})`

`=\vec{IK}-1/2n\vec{AB}-1/2n\vec{AE}+1/4\vec{AC}-1/4\vec{CB}`

`=\vec{IK}-1/2n\vec{AB}-1/2n . 1/2(\vec{AB}+\vec{AC})+1/4\vec{AC}-1/4(\vec{CA}+\vec{AB})`

`=\vec{IK}-3/4n\vec{AB}-1/4n\vec{AC}+1/4\vec{AC}+1/4\vec{AC}-1/4\vec{AB}`

`=(3/4n-1/2)\vec{AB}+1/4n\vec{AC}-3/4n\vec{AB}-1/4n\vec{AC}+1/4\vec{AC}+1/4\vec{AC}-1/4\vec{AB}`

`=-3/4\vec{AB}+1/2\vec{AC}`

~~~~~~~~~~~

Mà `\vec{IK}=m\vec{IJ}`

`<=>{(3/4n-1/2=-3/4m),(1/4n=1/2m):}`

`<=>{(m=2/9),(n=4/9):}`