tam giác ABC có các trung tuyến ma = 15 , mb = 12 , mc = 9 . Tính diện tích tam giác ABC

Đáp án:

 `72`

Giải thích các bước giải:

`ΔABC` có các cạnh `BC, AC, AB` tương ứng là `a, b, c`

$\begin{array}{l} {m_a}^2 = \dfrac{{2({b^2} + {c^2}) - {a^2}}}{4} = {15^2} = 225\\ {m_b}^2 = \dfrac{{2({a^2} + {c^2}) - {b^2}}}{4} = {12^2} = 144\\ {m_c}^2 = \dfrac{{2({a^2} + {b^2}) - {c^2}}}{4} = {9^2} = 81 \end{array}$

`<=>` $2{b^2} + 2{c^2} - {a^2} = 900$   `(1)`

          $2{a^2} + 2{c^2} - {b^2} = 576$   `(2)`

        ```$2{a^2} + 2{b^2} - {c^2} = 324$   `(3)`

`(1)+(2)+(3)` `<=> 3a^2+3b^2+3c^2=1800`

`<=> a^2+b^2+c^2=600`

`(2)+(3)` `<=> 4a^2+b^2+c^2=900`

`=> 4a^2+(600-a^2)=900`

`<=>3a^2=300 `

`<=> a^2=100`

`<=> a=10`

`=> b^2+c^2=600-a^2=600-100=500 => b^2=(500-c^2)`

`(2)` `<=> 2a^2+2c^2-b^2=576`

`<=> 2.100 + 2c^2-(500-c^2)=576`

`<=> 2c^2-500+c^2=376`

`<=> 3c^2=876`

`<=> c^2=292 => c=2\sqrt{73}`

`b^2=500-c^2=500-292=208 => b=4\sqrt{13}`

Nửa chu vi `p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+4\sqrt{13}+2\sqrt{73}}{2}`

Diện tích `ΔABC` là: `S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=72`