Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Biết AH = 8cm, HC = 6cm, HB = 4cm. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm H lên ÂC, AB. a. Tính độ dài HE, HF. b. Tính các cạnh của tam giác AEF. c. Kẻ đường cao CK của tam giác ABC (K thuộc AB). Chứng minh rằng $FK=\frac{3}{10} AB$

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: 

$AB=\sqrt{AH^2+HB^2}=4\sqrt{5}$

$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=10$

$HE\perp AB\to HE\cdot AB=HA\cdot HB\to HE=\dfrac{HA\cdot HB}{AB}=\dfrac8{\sqrt5}$

$HF\perp AC\to HF\cdot AC=HA\cdot HC\to HF=\dfrac{HA\cdot HC}{AC}=4.8$

b.Ta có: $\Delta AHB$ vuông tại $H, HE\perp AB$

$\to AE\cdot AB=AH^2\to AE=\dfrac{AH^2}{AB}=\dfrac{16}{\sqrt5}$

Ta có: $\Delta AHC$ vuông tại $H, HF\perp AC$

$\to AH^2=AF\cdot AC\to AF=\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{32}5$

$\to AE\cdot AB=AF\cdot AC(=AH^2)$

$\to \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}$

Mà $\widehat{EAF}=\widehat{BAC}$

$\to \Delta AEF\sim\Delta ACB(c.g.c)$

$\to \dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AE}{AC}$

$\to EF=\dfrac{AE\cdot BC}{AC}$

$\to EF=\dfrac{AE\cdot (BH+HC)}{AC}=\dfrac{16}{\sqrt5}$

c.Ta có: $\Delta AKC$ vuông tại $K, F$ là trung điểm $AC$

$\to FK=FA=FC=\dfrac12AC=5$

$\to \dfrac{FK}{AB}=\dfrac{5}{4\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}4$

$\to FK=\dfrac{\sqrt5}4AB$