Cho a= căn bậc ba(2-căn 3) + căn bậc ba(2+ căn3) Cmr 64/( a^2 3 )^3 -3a là số chính phương giúp mình với

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a=\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}\\ a^3=\left(\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}\right)^3\\ =2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}+3\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}.\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}\left(\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}\right)\\ =4+3\sqrt[3]{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}.a\\ =4+3\sqrt[3]{1}.a\\ =4+3a\\ \Rightarrow a^3=4+3a\\ \Rightarrow a^3-3a=4\\ \dfrac{64}{(a^2-3)^3}-3a\\ =\dfrac{4^3}{(a^2-3)^3}-3a\\ =\dfrac{(a^3-3a)^3}{(a^2-3)^3}-3a\\ =\dfrac{[a(a^2-3a)]^3}{(a^2-3)^3}-3a\\ =\dfrac{a^3(a^2-3a)^3}{(a^2-3)^3}-3a\\ =a^3-3a\\ =4 (\text{đpcm}).$