Trong một cuộc họp có` 6` người. Người ta nhận thấy cứ ba người bất kỳ thì có hai người quen nhau. Chứng minh rằng thế nào cũng có ba người đôi một quen nhau.

$\\$

Ta đổi bài toán thành thành bài toán về hình học quen thuộc như sau:

Cho 6 điểm bất kì trong 1 mặt phảng, tô 1 đoạn bất kì được tạo bởi 2 điểm trong 6 điểm đã cho bởi 2 màu xanh và đỏ. Chứng minh có ít nhất 1 tam giác có 3 cạnh tô cùng màu.

(6 điểm ứng với 6 người, nếu quen nhau thì tô xanh và không quen nhau thì tô đỏ, 3 cạnh tô cùng màu tức 3 người đôi một quen nhau).

Thật vậy ta chứng minh bài toán trên:

Không mất tính tổng quát giả sử 6 điểm bất kì đó là $A,B,C,D,E,F$

Xét 5 đoạn $AB,AC,AD,AE,AF$ được tô bởi 2 màu xanh hoặc đỏ. Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất $\left[\dfrac{5}{2}\right]+1=3$ đoạn tô cùng màu.

Không mất tính tổng quát giả sử 3 đoạn đó là $AB,AC,AD$ cùng tô đỏ.

Xét 3 đoạn $BC,CD,BD$

Nếu có 1 đoạn tô đỏ thì ta có ngay đpcm.

Nếu không có đoạn nào tô đỏ thì $BC,CD,BD$ tô xanh ta cũng có được đpcm.

Vậy bài toán được chứng minh.