Chứng minh rằng: pt bậc 3 có ít nhất 1 nghiệm thực

Xét phương trình bậc $3$ có dạng là $ax^3+bx^2+cx+d=0$ với $a\ne 0$

Trường hợp $a>0$ thì:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3}\left( {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{{{x^2}}} + \dfrac{d}{{{x^3}}}} \right) =  + \infty $

Do đó tồn tại một số  thực $e\in (0;+\infty)$ thỏa mãn làm cho $f(e)>0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3}\left( {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{{{x^2}}} + \dfrac{d}{{{x^3}}}} \right) =  - \infty $

Do đó tồn tại một số thực $g \in (-\infty;0)$ thỏa mãn làm cho $f(g)<0$

Từ đó ta có được $f(e).f(g)<0$ nên tồn tại một số  thực $h\in (e;g) $ nào đó làm cho $f(h)=0$ (do hàm số bậc ba liên tục trên $\mathbb R$) nên phương trình bậc $3$ luôn có ít nhất $1$ nghiệm thực

Tương tự với trường hợp $a<0$

Vậy phương trình bậc $3$ luôn có ít nhất một nghiệm thực