Cho tam giác ABC cân tại A.Vẽ BH vuông góc với AC(H thuộc AC),CK vuông góc với AB,(K thuộc AB).Vẽ hình a, Chứng minh rằng AH=AK b,Gọi I là giao điểm BH và CK.Chứng minh KAI=HAI c,Gọi M là trung điểm của BC.Chứng minh A,I,M thằng hàng

a)

Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H$ và $\Delta AKC$ vuông tại $K$, ta có:

     $\widehat{BAC}$ là góc chung

     $AB=AC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

Nên $\Delta AHB=\Delta AKC\left( ch-gn \right)$

Do đó $AH=AK$

b)

Xét $\Delta AKI$ vuông tại $K$ và $\Delta AHI$ vuông tại $H$, ta có:

     $AI$ là cạnh chung

     $AK=AH\left( cmt \right)$

Nên $\Delta AKI=\Delta AHI\left( ch-cgv \right)$

Do dó $\widehat{KAI}=\widehat{HAI}$

c)

Vì $\widehat{KAI}=\widehat{HAI}\left( cmt \right)$ nên $AI$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$, ta có:

     $AB=AC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

     $AM$ là cạnh chung

     $BM=CM$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$)

Nên $\Delta ABM=\Delta ACM\left( c.c.c \right)$

Do đó $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$

Vậy $AM$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$

Mà $AI$ cũng là tia phân giác của $\widehat{BAC}\left( cmt \right)$

$\Rightarrow AM\equiv AI\Rightarrow A,I,M$ thẳng hàng