Cho hình chóp S ABCD, có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD. 1. Chứng minh rằng BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD) 2. Chứng minh rằng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC) tại trung điểm BD. 3. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (AHK). 4. Chứng minh rằng HK ⊥ AI.

1.

Ta có: $\left\{\begin{array}{I}BC\bot AB\text{ (tứ giác ABCD là hình vuông)}\\BC\bot SA\text{ (SA vuông góc với (ABCD))}\\AB,SA\subset(SAB)\end{array}\right.$

$\Rightarrow BC\bot (SAB)$

Ta có:

$\left\{\begin{array}{I}CD\bot AD\text{ (tứ giác ABCD là hình vuông)}\\CD\bot SA\text{ (SA vuông góc với (ABCD))}\\AD,SA\subset(SAD)\end{array}\right.$

$\Rightarrow CD\bot (SAD)$

2.

Ta có: $\left\{\begin{array}{I}BD\bot AC\text{ (tứ giác ABCD là hình vuông)}\\BD\bot SA\text{ (SA vuông góc với (ABCD))}\\AC,SA\subset(SAC)\end{array}\right.$

$\Rightarrow BD\bot (SAC)$

$BD\cap(SAC)=BC\cap AC=O$ mà O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của BD

$\Rightarrow BD\bot(SAC)$ tại trung điểm của BD.

3.

Ta có: $\left\{\begin{array}{I}BC\bot AH\text{ (}BC\bot(SAB)\text{ chứng minh ở 1)}\\AH\bot SB\text{ (giả thiết)}\\BC,SB\subset(SBC)\end{array}\right.$

$\Rightarrow AH\bot (SBC),SC\subset(SBC)\Rightarrow AH\bot SC$ (1)

Ta có: $\left\{\begin{array}{I}CD\bot AK\text{ (}CD\bot(SAD)\text{ chứng minh ở 1)}\\AK\bot SD\text{ (giả thiết)}\\CD,SD\subset(SCD)\end{array}\right.$

$\Rightarrow AK\bot (SCD),SC\subset(SCD)\Rightarrow AK\bot SC$ (2)

Từ (1), (2) và $AH, AK\subset(AHK)$

$\Rightarrow SC\bot(AHK)$

4.

Ta có: $BD\bot (SAC)$ (chứng minh ở 2)

$AI\subset(SAC)\Rightarrow BD\bot AI$ (3)

$\Delta SAB=\Delta SAD$ (c.g.c)

$\Rightarrow SB=SD$ (hai cạnh tương ứng)

$ \widehat{ASB}=\widehat{ASD}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow\Delta SAH=\Delta SAK$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow SH=SK$

$\Rightarrow\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{SK}{SD}$ theo Ta-lét suy ra $HK//BD$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $HK\bot AI$.