Giải phương trình dễ là từ tôi không dùng để miêu tả .

Đáp án:

`S=-6`

Giải thích các bước giải:

 `a;b;c>0; a;b;c\ne 1`

`\qquad log_a^2 b+log_b^2 c=log_a\ c/b -2log_b \ c/b-3`

`<=>log_a^2 b+log_b^2 c=log_a c-log_a b-2(log_b c-log_b b)-3`

`<=>log_a^2 b+log_b^2 c=log_a c-log_a b-2(log_b c-1)-3`

`<=>log_a^2 b+log_b^2 c=log_a c-log_a b-2log_b c-1` `(1)`

Đặt `x=log_a b; y=log_b c`

`=>xy=log_a b . log_b c=log_a c`

`(1)<=> x^2+y^2=xy-x-2y-1`

Vì `P=x-y⇔ x=P+y` thay vào phương trình trên ta có:

`\qquad (P+y)^2+y^2=(P+y)y-(P+y)-2y-1`

`<=>P^2+2Py+y^2+y^2=Py+y^2-P-y-2y-1`

`<=>y^2+(P+3)y+P^2+P+1=0` (*)

Để tồn tại `x;y` sao cho `P` có $GTLN;GTNN$ thì phương trình bậc hai (*) theo ẩn `y`  phải có nghiệm

`<=>\Delta\ge 0`

`<=>(P+3)^2-4.1.(P^2+P+1)\ge 0`

`<=>P^2+6P+9-4P^2-4P-4\ge 0`

`<=> -3P^2+2P+5\ge 0`

`<=> -1\le P\le 5/ 3`

Vì $M;m$ lần lượt là $GTLN;GTNN$ của `P`

`=>M=5/ 3; m=-1`

`=>S=m-3M=-1-3. 5/ 3 =-6`

Vậy `S=-6`