Giúp mình với Không sử dụng máy tính so sánh hai số sau: $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$ và $\frac{9}{\sqrt{11}-\sqrt{2}}$

Đáp án:

$\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}>\dfrac{9}{\sqrt{11}-\sqrt{2}}.$

Giải thích các bước giải:

$\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\dfrac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)=3+\sqrt{3}\\ \dfrac{9}{\sqrt{11}-\sqrt{2}}=\dfrac{9(\sqrt{11}+\sqrt{2})}{(\sqrt{11}-\sqrt{2})(\sqrt{11}+\sqrt{2})}=\dfrac{9(\sqrt{11}+\sqrt{2})}{9}=\sqrt{11}+\sqrt{2}\\ (3+\sqrt{3})^2=12+6\sqrt{3}=12+\sqrt{108}\\ (\sqrt{11}+\sqrt{2})^2=13+\sqrt{88}=12+1+\sqrt{88}$

Ta so sánh $\sqrt{108}$ và $1+\sqrt{88}$

$\sqrt{108}^2=108\\ (1+\sqrt{88})^2=89+2\sqrt{88}<89+2\sqrt{90,25}=89+2.9,5=108\\ \Rightarrow \sqrt{108}^2>(1+\sqrt{88})^2$

Mà $\sqrt{108}>0; 1+\sqrt{88}>0$

$\Rightarrow \sqrt{108}>1+\sqrt{88}\\ \Rightarrow (3+\sqrt{3})^2>(\sqrt{11}+\sqrt{2})^2$

Lại có $3+\sqrt{3}>0; \sqrt{11}+\sqrt{2}>0$

$\Rightarrow 3+\sqrt{3}>\sqrt{11}+\sqrt{2}\\ \Rightarrow \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}>\dfrac{9}{\sqrt{11}-\sqrt{2}}.$