Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên Theo hai cách

ĐK: $x\ge 0$

Cách 1:

Để $P$ nguyên thì $11\vdots 2\sqrt x+3$

$→2\sqrt x+3\in Ư(11)=\{\pm1;\pm11\}$

mà $2\sqrt x+3\ge 3\forall x\ge 0$

$→2\sqrt x+3=11\\↔2\sqrt x=8\\↔\sqrt x=4\\↔x=16(TM)$

Vậy $x=16$

Cách 2:

Ta có: $P>0\forall x\ge 0$

Ta có: $2\sqrt x+3\ge 3\forall x\ge 0$

$→\dfrac{11}{2\sqrt x+3}\le \dfrac{11}{3}$ hay $P\le\dfrac{11}{3}$

Ta có: $\begin{cases}P>0\\P\le \dfrac{11}{3}\end{cases}→0<P\le\dfrac{11}{3}$

Mà $P$ đạt giá trị nguyên

$→P\in\{1;2;3\}$

+) Với $P=1$ thì $\dfrac{11}{2\sqrt x+3}=1$

$→2\sqrt x+3=11\\↔2\sqrt x=8\\↔\sqrt x=4\\↔x=16(TM)$

+) Với $P=2$ thì $\dfrac{11}{2\sqrt x+3}=2$

$→2\sqrt x+3=\dfrac{11}{2}\\↔2\sqrt x=\dfrac{5}{2}\\↔\sqrt x=\dfrac{5}{4}\\↔x=\dfrac{25}{4}(KTM)$

+) Với $P=3$ thì $\dfrac{11}{2\sqrt x+3}=3$

$→2\sqrt x+3=\dfrac{11}{3}\\↔2\sqrt x=\dfrac{2}{3}\\↔\sqrt x=\dfrac{1}{3}\\↔x=\dfrac{1}{9}(KTM)$

Vậy $x=16$