Hãy luôn nhớ cảm ơn và vote 5*
nếu câu trả lời hữu ích nhé!
12080
11602
$\\$
Cách 1.
Từ hệ ta thu được:
$p^2-p=2y(y+2)-2x(x+2)=2y^2+4y - 2x^2-4x$
$\to p(p-1)=2(y-x)(y+x+2)$
Do đó: $p|2(y-x)(y+x+2)$
Từ hệ ta có $p-1$ chẵn $\to p$ lẻ (Do $p$ nguyên tố)
$\to \text{gcd}(p;2)=1\to p|(y-x)(y+x+2)$
Mà $p$ nguyên tố nên $p|y-x$ hoặc $p|y+x+2$
$(*)p|y-x$
$\to y-x=kp(k\in N^*)$
$\to p(p-1)=2kp(y+x+2)\to p-1=2k(x+y+2)$
$\to kp-k=2k^2(x+y+2)$
$\to y-x-k=2k^2(x+y+2)$(Hiển nhiên vô lí vì VP>VT)
$(*)p|y+x+2$
Đặt $x+y+2=tp(t\in N^*)$
$\to p(p-1)=2(y-x)tp$
$\to p-1=2t(y-x)$
$\to pt-t=2t^2(y-x)$
$\to x+y+2-t=2t^2(y-x)$
Nếu $t=1$
$\to x+y+2=p$ và $p-1=2(y-x)$
Ta có: $p-1=2(y-x)$
$\to x+y+1=2(y-x)$
$\to x+y+1=2y-2x$
$\to y=3x+1$
$\to p=x+3x+3=4x+3$
$\to p-1=4x+2$
$\to 4x+2=2x^2+4x$
$\to 2x^2=2\to x=1$
Với $x=1$(Nhận)$\to p=4.1+3=7$
Với $p=7$(Nhận)$\to 48=2y^2+4y\to y=4$(Nhận)
$(x;y;p)=(1;4;7)$ thỏa mãn.
Nếu $t>1$
$\to x+y=2t^2(y-x)+t-2\ge 2.2^2(y-x)+2-2=8(y-x)$
$\to x+y\ge 8y-8x\to 9x\ge 7y\to 7y<14x\to y<2x$
Mặt khác: $(p-1)(p+1)=2y(y+2)<2.2x(2x+2)=4x(2x+2)=8x^2+8x$
$p-1=2x^2+4x\to 4(p-1)=8x^2 + 14x>8x^2+8x>(p-1)(p+1)$
$\to 4>p+1\to p<3$ mà $p$ nguyên tố $\to p=2$(Loại do $p$ lẻ)
Cách 2.
Từ hệ ta thu được 2 pt mới:
$2x^2+4x+1-p=0(1)$ và $2y^2+4y+1-p^2=0(2)$
$\Delta_1=16-8+8p=8(p+1),\Delta_2=8(p^2+1)$
Để pt có nghiệm thì $\Delta_1,\Delta_2$ là SCP.
Do đó $8(p+1),8(p^2+1)$ là SCP.
Đặt $p+1=2a^2,p^2+1=2b^2(a,b\in N^*)$
Dễ thấy $p-1$ chẵn nên $p$ lẻ.
$\to p(p-1)=2(b-a)(b+a)$
$2a^2=p+1<p^2=2b^2-1<2p^2\to a<b<p$
$\to a-b<p\to \text{gcd}(a-b;p)=\text{gcd}(2;p)=1$
Từ pt $\to p|2(b-a)(b+a)\to p|a+b$ mà $a<b<p+p=2p$
$\to a+b=p\to 2(b-a)p=p(p-1)\to 2(b-a)=p-1\to b-a=\dfrac{p-1}{2}$
Ta có hệ: $b+a=p,b-a=\dfrac{p-1}{2}$
$\to 2a=\dfrac{p+1}{2}\to a=\dfrac{p+1}{4}$
$2a^2=2.\dfrac{(p+1)^2}{16}\to p+1=2\dfrac{(p+1)^2}{16}$
$\to p=7$(Nhận)
Dễ dàng giải $(x;y;p)=(1;4;7)$
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
Bảng tin
342
532
243
https://hoidap247.com/cau-hoi/4928536 Giúp e câu này với ạ:')