Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh AB,AC lần lượt tại P,Q . Chứng minh rằng: PB/PA.QC/QA chỉ bé hơn hoặc bằng 1/4

* Gọi I là trung điểm của BC , kẻ AM , BN , IK , CL vuông góc với PQ , cắt PQ lần lượt tại M , N , K , L 

* Ta có : AM // CL 

⇒ $\frac{QC}{QA}$ = $\frac{KL}{AM}$ ( 1 )

* Ta có : BN // AM 

⇒ $\frac{PB}{PA}$ = $\frac{BN}{AM}$ ( 2 )

* Từ ( 1 ) , ( 2 ) ⇒ $\frac{PB}{PA}$ . $\frac{QC}{QA}$ = $\frac{BN}{AM}$ $\frac{CL}{AM}$ = $\frac{BN.CL}{AM}$ ( 3 )

* Ta có : AM // IK

⇒ $\frac{GI}{GA}$  = $\frac{IK}{AM}$  = $\frac{1}{2}$ ( 4 )

* Ta có : IG // BN // CL // BI = CI ⇒ IK là đường trung bình của hình thang BNCL

⇒ IK = $\frac{BN+CL}{2}$ 

* Lại có : BN . CL ≤ $\frac{(BN+CL)mũ 2}{4}$  = IK² ( 5 )

* Từ ( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 ) ⇒ $\frac{PB}{PA}$ . $\frac{QC}{QA}$ = $\frac{BN.CL}{AM mũ 2}$ ≤ $\frac{IK mũ 2 }{AM mũ 2}$ = ($\frac{1}{2}$ ² = $\frac{1}{4}$ 

Dấu " = " xảy ra khi BN = CL hay PQ // BC

Chúc bạn học tốt nha!!