Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, các góc SAB,SAC,SAD đều vuông, SA= a căn 2 / 2. Tính góc giữa SC và AD Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) và SA= a canw2. Tính góc giữa: a, SC,SD với (ABCD) b, BD với (SAC) Bài 3 :Hình chop S.ABC có SA vuông với đáy, tam giác ABC cân ởA. Gọi M là trung điểm BC. CM: a.BC vuông góc (SAM) b. VẽAH vuông goc SM tại H. Chứng minh: AH vuông góc SB Bài 4:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD. a.Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt ( SAB); CD vuông góc với mặt phẳng (SAD); BD vuông góc với mặt phẳng (SAC) b.Chứng minh rằng HK vuông góc với mặt phẳng (SAC). Từ đó suy ra HK vuông góc với AI Bài 5 :Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S.Gọi I, J là trung điểm AB, CD a.Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuông b.Chứng minh SI vuông góc (SCD); SJ vuông góc(SAB) c.Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên IJ. cm SH vuông góc AC Bài 6 :Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy. Đáy ABCD là hình thang vuông tại A. AD = 2AB = 2BC a. Chứng minh BC vuông góc (SAB) b. Chứng minh SC vuông goc CD Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với SA = SC, SB = SD. Chứng minh a.SO vuông góc với (ABCD) b.AC vuông góc SD, BD SA

Giải thích các bước giải:

Bài 1:(Hình 1)

Ta có :
$\widehat{SAB}=\widehat{SAC}=\widehat{SAD}=90^o\to SA\perp AB, SA\perp AD, SA\perp AC$

$\to SA\perp (ABCD)$

Do $AD//BC\to\widehat{(SC,AD)}=\widehat{(SC,BC)}=\widehat{SCB}$

$\Delta SAB\bot A$: $SB^2=SA^2+AB^2=\dfrac{3}{2}a^2\to SB=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Do $BC\perp AB, SA\perp (ABCD)\to SA\perp BC\to BC\perp (SAB)$

$\to BC\perp SB\to \tan\widehat{SCB}=\dfrac{SB}{BC}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

$\to \widehat{SCB}=\arctan\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

Bài 2:(Hình 1)

a. Ta có: $(SC,(ABCD))=(SC,AC)$

Áp dụng định lý cosin vào $\Delta SAC$:

$SA^2=CS^2+CA^2-2CS.CA.\cos\widehat{SCA}$

$\Rightarrow \cos\widehat{SCA}=\dfrac{1}{\sqrt2}$

$\Rightarrow (SC,(ABCD))=(SC,AC)=\widehat{SCA}=45^o$

$(SD,(ABCD))=(SD,AD)$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta SAD\bot A$

$\tan\widehat{SDA}=\dfrac{SA}{AD}=\sqrt2$

$\rightarrow\widehat{SDA}=\arctan\sqrt2$

b.Ta có: $SA\perp (ABCD)\to SA\perp BD$

Mà ABCD là hình vuông $\to AC\perp BD\to BD\perp (SAC)$

$\to \widehat{(BD,(SAC))}=90^o$

Bài 3:(Hình 2)

a.Vì $SA\perp (ABC)\to SA\perp BC$

Mà $\Delta ABC$ cân tại A, M là trung điểm BC $\to AM\perp BC$

$SA,AM\subset(SAM)$

$\to BC\perp (SAM)$

b.Vì $BC\perp (SAM)\to BC\perp AH$

Mà $AH\perp SM$

$SM,BC\subset(SBC)$

$\to AH\perp (SBC)\to AH\perp SB$

Bài 4:(Hình 3)

a.Ta có $SA\perp (ABCD)\to SA\perp BC$

Mà ABCD là hình vuông $\to BC\perp AB$

$SA,AB\subset(SAB)$

$\to BC\perp (SAB)$

Do $CD\bot AD(\text{tứ giác }ABCD\text{ là hình vuông})$,

$CD\bot SA$ (do $SA\bot(ABCD)$)

$SA,AD\subset(SAD)$

$\to CD\perp (SAD)$

Do ABCD là hình vuông $\to BD\perp AC$

Mà $SA\perp (ABCD)\to SA\perp BD\to BD\perp (SAC)$

b.Ta có $\Diamond ABCD$ là hình vuông

$\to AB=BC=CD=DA$

Mà $SA\perp (ABCD)\to \widehat{SAD}=\widehat{SAB}=90^o\to\Delta SAD=\Delta SAB(c.g.c)\to SB=SD$

Lại có $AH\perp SB,AK\perp SC\to AH=AK\to SH=SK$

$\to \dfrac{SH}{SB}=\dfrac{SK}{SD}\to HK//BD$

Mà $BD\perp (SAC)\to HK\perp (SAC)$

$\to HK\perp AI$

Bài 5:(Hình 4)

a.Vì ABCD là hình vuông I,J là trung điểm AB,CD$\to IJ=AD=a$

$\Delta SBC$ đều I là trung điểm AB $\to SI=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Delta SCD$ vuông cân tại S, J là trung điểm CD $\to SJ=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{a}{2}$

$\to SI^2+SJ^2=a^2=IJ^2\to \Delta SIJ$ vuông tại S

b.Vì I,J là trung điểm AB,CD $\to IJ\perp CD$

Mà $\Delta SCD$ vuông cân tại S $\to SJ\perp CD\to CD\perp (SIJ)$

$\to CD\perp SI$

Mà $SI\perp SJ\to SI\perp (SCD)$

$AB\bot SI,AB\bot IJ\Rightarrow AB\bot(SIJ)\Rightarrow AB\bot SJ$

$SJ\bot SI$ (cmt)

$AB,SI\subset(SAB)\to SJ\perp (SAB)$

c.Vì $CD\perp (SIJ)\to CD\perp SH$

Lại có $SH\perp IJ\to SH\perp (ABCD)\to SH\perp AC$

Bài 6:(Hình 5)

a.Vì ABCD là hình thang vuông tại $A,AD=2AB=2BC\to AD>BC$

$\to BC\perp AB$

Lại có $SA\perp (ABCD)\to SA\perp BC\to BC\perp (SAB)$

b.Gọi E là trung điểm AD

$\to AE=\dfrac{AD}{2}=BCvà AE//BC\to ABCE-hbh$ có $\widehat{ABC}=90^o\Rightarrow ABCE-hcn$ có AB=BC nên $ABCE-hv\Rightarrow AE=EC$

$\to CE\perp AD$

Kết hợp $AE=EC=ED\to \Delta ACD$ vuông cân tại C

$\to CD\perp AC$

Mà $SA\perp (ABCD)\to SA\perp CD\to CD\perp (SAC)\to CD\perp SC$

Bài 7:

a.Vì ABCD là hình thoi tâm O $\to O$ là trung điểm AC, BD

Mà $SA=SC,SB=SD\to\Delta SAC \text{ và }\Delta SBD\text{ cân đỉnh }S$

So là trung tuyến nên cũng là đường cao

$\to SO\perp AC,SO\perp BD\to SO\perp (ABCD)$

b. Ta có $AC\perp BD$ vì ABCD là hình thoi

$SO\perp (ABCD)\to SO\perp BD\to BD\perp (SAC)\to BD\perp SA$

$BD\bot AC$ (do ABCD là hình thoi)

$BD\bot SO$ (do $SO\bot(ABCD)$)

$AC,SO\subset(SAC)\Rightarrow BD\bot (SAC)$

$SA\subset(SAC)\to AC\perp SD$.