Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A. Vẽ các tia Bx vuông góc với AB, Cy vuông góc với CA, chúng cắt nhau tại D.<br>a) Tứ giác BHCD là hình gì? Vì sao?<br>b) Gọi E là điểm sao cho BC là đường trung trực của EH. Chứng minh rằng Tứ giác BCDE là hình thang cân.<br>c) BD cắt EH TẠI K , Tam giác ABC phải có điều kiện gì để Tứ giác HCDK là hình thang cân

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $H$ là trực tâm $\Delta ABC\to BH\perp AC, CH\perp AB$

               $DB\perp AB, DC\perp AC$

$\to DB//CH, CD//BH$

$\to BHCD$ là hình bình hành

b.Vì $BHCD$ là hình bình hành $\to BH=CD, CH=BD$

         $H, E$ đối xứng qua $BC\to BH=BE, CH=CE$

$\to BD=CE, BE=CD$

Xét $\Delta BCE,\Delta BCD$ có:

Chung $BC$

$BE=CD$

$CE=BD$

$\to \Delta BCE=\Delta CBD(c.c.c)$

$\to \widehat{ECB}=\widehat{DBC}$

Gọi $BD\cap CE=F$

$\to \widehat{FCB}=\widehat{FCB}$

$\to \Delta FCB$ cân tại $F\to FB=FC$

$\to FE=CE-FC=BD-FB=FD$

$\to \Delta FDE$ cân tại $F$

$\to \widehat{FED}=90^o-\dfrac12\widehat{EFD}=90^o-\dfrac12\widehat{BFC}=\widehat{FCB}$

$\to BC//DE$

Mà $BD=CE\to BCDE$ là hình thang cân

c.Ta có: $BD//CH\to DK//CH\to CDKH$ là hình thang

Để $HCDK$ là hình thang cân

$\to \widehat{KHC}=\widehat{HCD}$

$\to \widehat{HKB}=\widehat{KHC}=\widehat{HCD}=\widehat{HBD}=\widehat{HBK}$

$\to \Delta HBK$ cân tại $H$

$\to \widehat{HBK}=90^o-\dfrac12\widehat{BHK}$

Ta có: $\widehat{ABH}=\widehat{ABD}-\widehat{HBD}=90^o-\widehat{HBD}=90^o-\widehat{HBK}$

$\to \widehat{ABH}=90^o-(90^o-\dfrac12\widehat{BHK})=\dfrac12\widehat{BHK}$

$\to \widehat{ABH}=\dfrac12(\widehat{ABH}+\widehat{HAB})$

$\to \widehat{ABH}=\dfrac12\widehat{ABH}+\dfrac12\widehat{HAB}$

$\to \dfrac12\widehat{ABH}=\dfrac12\widehat{HAB}$

$\to \widehat{ABH}=\widehat{HAB}$

$\to \Delta ABH$ cân tại $H\to HA=HB\to H\in$ trung trực $AB$

Mà $CH\perp AB\to CH$ là trung trực $AB\to CA=CB$

$\to \Delta CAB$ cân tại $C$