Chứng minh các hệ thức lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Trong một tam giác vuông, với một góc `\alpha ` bất kì, ta đặt:

Cạnh huyền  `= x`

Cạnh đối  `=y`

Cạnh kề  `= z` 

_____________________________________________________

`1)` 

Ta có:

`tan \alpha = y/z`

`{sin \alpha}/{cos \alpha} = sin \alpha : cos \alpha = y/x : z/x = y/x * x/z = y/z`

Vậy `tan \alpha = {sin \alpha}/{cos \alpha} ` 

_____________________________________________________

`2)`

Ta có:

`cot \alpha = z/y`

`{cos \alpha}/{sin \alpha} = cos \alpha : sin \alpha = z/x : y/x = z/x * x/y = z/y` 

Vậy `cot \alpha = {cos \alpha}/{sin \alpha} ` 

_____________________________________________________

`3)`

Ta có:

`tan \alpha = y/z`

`cot \alpha = z/y`

` => tan \alpha. cot \alpha = y/z * z/y = 1 `

Vậy `tan \alpha. cos \alpha = 1` 

_____________________________________________________

`4)`

Ta có:

`sin^2 \alpha = {y^2}/{x^2}`

`cos^2 \alpha = {z^2}/{x^2}`

`=> sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = {y^2 + z^2}/{x^2} = {x^2}/{x^2} = 1`

Vậy `sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 `

_____________________________________________________

`5)`

Ta có:

`1 + tan^2 \alpha = 1 + {y^2}/{z^2} = {z^2 + y^2}/{z^2} = {x^2}/{z^2}`

`1/{cos^2 \alpha} = 1 : {z^2}/{x^2} = {x^2}/{z^2}`

Vậy `1 + tan^2 \alpha = 1/{cos^2 \alpha}`

_____________________________________________________

`6)`

Ta có: 

`1 + cot^2 \alpha = 1 + {z^2}/{y^2} = {y^2 + z^2}/{y^2} = {x^2}/{y^2}` 

`1/{sin^2 \alpha} = 1 : {y^2}/{x^2} = {x^2}/{y^2}` 

Vậy `1 + cot^2 \alpha = 1/{sin^2 \alpha}`