Cho tam giác vuông ABC vuông tại A và đường cao AH (H BC)

a. Cho AH=6 ;BH=3 .Tính BC và số đó góc ABC (góc làm trọn đến phút)

b. Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt tia CA tại K. Hạ AE BK (E BK). Chứng mình rằng : AK.AC=EH² , từ đóa suy ra BH.HC+AK.AC

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a. Áp dụng hệ thức lượng giác vào tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:

AH² = BH.HC

=> 6²= 3. HC => HC = 6² : 3= 12cm 

Ta có : BC = BH + HC = 3 + 12 =15 cm

=>$\frac{1}{AH²}$ =$\frac{1}{AB²}$ +$\frac{1}{AC²}$ => AC = 6$\sqrt[]{5}$

=>AB=$\sqrt[]{AH²+BH² }$ =$\sqrt[]{3²+6²}$ =3$\sqrt[]{5}$ 

Xét tam giác ABC vuông tại A có

sinABC = $\frac{AC}{BC}$ =$\frac{6√5}{15}$ =$\frac{2√5}{5}$ => góc ABC = 63độ

b. Xét tam giác BAK và tam giác CAB có 

góc BAK = góc BAC = 90 độ

goác BKA = góc ABC ( cùng phụ góc KBA)

=> tam giác BAK đồng dạng với tam giác CAB ( g-g)

=> $\frac{BA}{AC}$= $\frac{AK}{AB}$ => AB²=AK.AC

=> tám giác ABHA là HCN => AB= EH

=> EH² =AK.AC (1)

c. xét tám giác BEA đồng dạng với tam giác AEK => $\frac{BE}{AE}$ =$\frac{AE}{EK}$ => BE.EK=AE²

Tam giác BHA đồng dạng tam giác AHC

=>$\frac{BH}{AH}$ =$\frac{AH}{HC}$ =>AH² =BH.HC

=> BH.HC + BE.EK = AE²+AH² = EH² (2)

Từ (1 ) và (2) => HB. HC +AK.AC