Cho phương trình x ² - 2×(m-1)x+2m-5=0,tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn điều kiện (x1 ²-2mx1+2m-1) ×(x2 ²-2mx2+2m-1)<0

Đáp án:

$m >\dfrac 34$ 

Giải thích các bước giải:

$x² - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0$ (*)

Để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thì $\Delta'\ge0$ $\forall M$ mà:

$Δ' = [-(m - 1)]² - (2m - 5) $

$= m² - 4m + 6 = (m - 2)² + 2 > 0$ với $∀m$ (1)

Vậy phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Khi đó hai nghiệm thỏa mãn:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 2(m - 1)\\ x_1.x_2 = 2m - 5\end{cases}$

$\begin{cases}x_1² - 2(m - 1)x_1 + 2m - 5 = 0 \\x_2² - 2(m - 1)x_2 + 2m - 5 = 0 \end{cases}⇔\begin{cases} x_1² - 2mx_1 + 2m - 1 = 2(2 - x_1)\\  x_2² - 2mx_2 + 2m - 1 = 2(2 - x_2)\end{cases}$

Điều kiện

$(x_1² - 2mx_1 + 2m - 1).(x_2² - 2mx_2 + 2m - 1) < 0$

$⇔ (2 - x_1)(2 - x_2) < 0$

$⇔ 4 - 2(x_1 + x_2) + x_1x_2 < 0$

$⇔ 4 - 2.2(m - 1) + 2m - 5 < 0$

$⇔ 3 - 4m < 0$

$⇔ m > \dfrac34$ (2)

Kết hợp (1) và (2) suy ra $m > \dfrac34$