Biểu thức $P=$$\frac{2x+3}{\sqrt{x}-2}$ với $x>4$ có giá trị nhỏ nhất là $A.2\sqrt{22}+8$ $B.2\sqrt{22}$ $C.2\sqrt{22}\pm8$ $D.$Không có GTNN

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Đặt `sqrtx-2=t(t>0).` Vì `x>4>0` nên `sqrtx=t+2`

`->x=(t+2)^2=t^2+4t+4.`

Thay `x=t^2+4t+4` vào biểu thức `P` ta được:

`P=(2(t^2+4t+4)+3)(sqrt((t+2)^2)-2)`

`=(2t^2+8t+8+3)/(t+2-2)`

`=(2t^2+8t+11)/t`

`=2t+8+11/t`

Áp dụng BĐT Cauchy cho `2` số không âm ta có:

`2t+11/t >= 2 sqrt(2t . 11/t)=2 sqrt22`

`->2t+11/t+8>=2 sqrt22+8` hay `P>=2 sqrt22+8.`

Dấu bằng xảy ra khi: `2t=11/t->2t^2=11`

`->t^2=11/2`

`->t=sqrt(11/2)` vì `t>0`

`->t=(sqrt11)/(sqrt2)=(sqrt22)/2`

Từ đó `x=t^2+4t+4=11/2+4 . (sqrt22)/2+4=19/2+2sqrt22.`

Vậy Min`P=2sqrt22+8` khi `x=19/2+2sqrt22`

`->bbA.`