tìm GTNN 4x^2 +12xy +10y^2 -10y +35

Đáp án + Giải thích các bước giải:

 `4x^2+12xy+10y^2-10y+35`

`= 4x^2+12xy+y^2+9y^2-10y+25+10`

`= (4x^2+12xy+9y^2)+(y^2-10y+25)+10`

`= (2x+3y)^2+(y-5)^2+10`

Vì:

`+) (2x+3y)^2 >= 0 AA x;y`

`+) (y-5)^2 >= 0 AA y`

`=> (2x+3y)^2+(y-5)^2 >= 0 AA x;y`

`=> (2x+3y)^2+(y-5)^2+10 >= 10 AA x;y`

Dấu "`=`" xảy ra `⇔` $\begin{cases} (2x+3y)^2=0\\(y-5)^2=0 \end{cases}$

                              `⇔` $\begin{cases} 2x+3y=0\\y-5=0 \end{cases}$

                              `⇔` $\begin{cases} 2x+3.5=0\\y=5 \end{cases}$

                              `⇔` $\begin{cases} 2x+15=0\\y=5\end{cases}$

                              `⇔` $\begin{cases} 2x=-15\\y=5 \end{cases}$

                              `⇔` $\begin{cases} x=\dfrac{-15}{2}\\y=5 \end{cases}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức `=10` khi `x=(-15)/2;y=5.`