Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH và trung tuyến AM. HD vuông góc với AB, HE vuông góc với Ac. Biết HB=4,5cm; CH=8cm a, tính góc AMB b, CM BAH =MAC c , CM AM vuông góc với DE d, Gọi K lầ giao điểm của AM và DE, tính độ dài AK giúp em với 7h em nộp rồi ạ

a)

Ta có $A{{H}^{2}}=BH.CH=4,5.8=36$

$\to AH=6cm$

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$

Ta có $\tan C=\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\to \widehat{C}\approx 37{}^\circ $

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, trung tuyến $AM$

$\to MA=MC\to \Delta MAC$ cân tại $M$

Có $\widehat{AMB}$ là góc ngoài của $\Delta AMC$

$\to \widehat{AMB}=2\widehat{C}=2\cdot 37{}^\circ =74{}^\circ $

b)

Ta có $\widehat{BAH}=\widehat{MCA}$ (cùng phụ $\widehat{B}$)

Mà $\widehat{MCA}=\widehat{MAC}$ (vì $\Delta AMC$ cân tại $M$)

$\to \widehat{BAH}=\widehat{MAC}$

c)

Ta có $A{{H}^{2}}=AD.AB=AE.AC\to \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ACB$, ta có:

+   $\widehat{BAC}$ chung

+   $\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\left( cmt \right)$

$\to \Delta ADE\sim\Delta ACB\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{AED}=\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{MAC}=\widehat{BAH}\left( cmt \right)$

$\to \widehat{AED}+\widehat{MAC}=\widehat{ABC}+\widehat{BAH}$

$\to \widehat{AED}+\widehat{MAC}=90{}^\circ $

$\to AM\bot DE$

d)

Tứ giác $ADHE$ có $\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90{}^\circ $

$\to ADHE$là hình chữ nhật $\to DE=AH=6cm$

+   $AB=\sqrt{A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{6}^{2}}+4,{{5}^{2}}}=7,5cm$

+   $A{{H}^{2}}=AD.AB\to AD=\dfrac{A{{H}^{2}}}{AB}=\dfrac{{{6}^{2}}}{7,5}=4,8cm$

+   $AC=\sqrt{A{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}}=\sqrt{{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}=10cm$

+   $A{{H}^{2}}=AE.AC\to AE=\dfrac{A{{H}^{2}}}{AC}=\dfrac{{{6}^{2}}}{10}=3,6cm$

+   $AK.DE=AD.AE\to AK=\dfrac{AD.AE}{DE}=\dfrac{4,8.3,6}{6}=2,88cm$