Cho 3 số thực duơng a,b,c thỏa $a+b+c \leq 2$. Tìm min biểu thức: $\\$ $P= \frac{b(a^2+1)^2}{a^2(b^2+1)}+ \frac{c(b^2+1)^2}{b^2(c^2+1)}+ \frac{a(c^2+1)^2}{c^2(c^2+1)}$

Ta có: $P = \frac{b(a^2+1)}{a^2(b^2+1)}+\frac{c(b^2+1)}{b^2(c^2+1)}+\frac{a(c^2+1)}{c^2(a^2+1)}$$\\$ Áp dụng BĐT $Cauchy-Shwarz$:$\\$ $P \geq 3\sqrt[3]{\frac{b(a^2+1)}{a^2(b^2+1)}.\frac{c(b^2+1)}{b^2(c^2+1)}.\frac{a(c^2+1)}{c^2(a^2+1)}}=3\sqrt[3]{\frac{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}{abc}}$$\\$ Áp dụng BĐT $Holder$: $\\$ $3\sqrt[3]{\frac{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}{abc}} \geq \frac{3(\sqrt[3]{(abc)^2}+1)}{\sqrt[3]{abc}}$$\\$ Ta có: $a+b+c \leq 2$$\\$ $\Rightarrow 3\sqrt[3]{abc} \leq 2$ $\\$$\Rightarrow 0<abc\leq \frac{8}{2}$$\\$ Đặt $t=abc$$\\$ Ta có : $P \geq \frac{3(\sqrt[3]{t^2}+1)}{\sqrt[3]{t}}$$\\$ Xét $f(t)=\frac{3(\sqrt[3]{t^2}+1)}{\sqrt[3]{t}}$$\\$ $f'(t)=\frac{\sqrt[3]{t^2}-1}{\sqrt[3]{t^4}} =0 \Rightarrow t=1 \notin (0;\frac{8}{27}]$$\\$ $f'(t) $ nghịch biến trên nửa khoảng $(0;\frac{8}{27}]$$\Rightarrow A \geq f(\frac{8}{27})=\frac{13}{2}$$\\$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{2}{3}$$\\$ Vậy $A_{min} = \frac{13}{2}$ khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{2}{3}$$\\$ Chúc bạn học tốt nhé