Chứng minh rằng nếu x/a=y/b=z/c thì: (x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)=(ax+by+cz)^2

Ta có

$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}$

Áp dụng tchat dãy tỉ số bằng nhau ta có

$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{x^2}{ax} = \dfrac{y^2}{by} = \dfrac{z^2}{cz} = \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{ax + by + cz}$

Tương tự, ta có

$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{ax}{a^2} = \dfrac{by}{b^2} = \dfrac{cz}{c^2} = \dfrac{ax + by + cz}{a^2 + b^2 + c^2}$

Theo tchat bắc cầu ta suy ra

$\dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{ax + by + cz} = \dfrac{ax + by + cz}{a^2 + b^2 + c^2}$ (do đều bằng với $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}$)

Suy ra

$(x^2 + y^2 + z^2)(a^2 + b^2 + c^2) = (ax + by + cz)^2$