cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối MA lấy C khác M. Kẻ MH vuông góc BC(H thuộc BC). MB cắt OH tại E. chứng minh ME.HM=BE.HC. Làm nhanh giùm mình với ạ

Giải thích các bước giải:

Ta có:
$MH\perp BC\Rightarrow\widehat{MHB}=90^o$,

$MN\perp AB\Rightarrow\widehat{MOB}=90^o$

Tứ giác $MOBH$ có: $\widehat{MHB}+\widehat{MOB}=180^o$ mà hai góc đó ở vị trí đối đỉnh nên $ MHBO$ nội tiếp (MB)

$\to \widehat{MHO}=\widehat{OHB}$ (góc nội tiếp chắn hai cung OM=OB của (MB))

$\to\Delta MHB$ có $ HE$ là phân giác $\widehat{MHB}$ 

$\to\dfrac{EM}{EB}=\dfrac{HM}{HB}$ (1)

Lại có: $\widehat{AMB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay $\widehat{CMB}=90^o$

$MH\bot BC\to\widehat{MHC}=90^o$

$\to\widehat{HMB}=\widehat{MCH}$ $(+\widehat{CMH}=90^o)$

$\to\Delta MHB\sim\Delta CHM$ (g.g)

$\to\dfrac{MH}{HB}=\dfrac{CH}{HM}$ (2) (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Từ (1) và (2) $\to \dfrac{EM}{EB}=\dfrac{CH}{HM}$

$\to ME.HM=BE.HC$