GTLN,GTNN

A= sin^8x+cos^8x

Đáp án:

$GTLN$ của `A` bằng `1` khi `x={kπ}/2\ (k\in ZZ)`

$GTNN$ của `A` bằng `1/ 8` khi

`\qquad x=±π/4+kπ\ (k\in ZZ)`

Giải thích các bước giải:

`sin^2 x+cos^2 x=1`

`sin2x=2sinx cosx`

`A=sin^8 x+cos^8 x`

`=(sin^4 x)^2+(cos^4 x)^2`

`=(sin^4 x+cos^4 x)^2-2sin^4 x cos^4 x`

`=[(sin^2 x)^2+(cos^2 x)^2]^2-1/ 8 (2sin x cosx)^4`

`=[(sin^2 x +cos^2 x)^2-2 sin^2 x cos^2 x]^2-1/ 8 (sin 2x)^4`

`=[1-1/ 2 (2sinx cos x)^2]^2-1/ 8 sin^4 2x`

`=(1-1/ 2 sin^2 2x)^2 -1/ 8 sin^4 2x`

`=1-sin^2 2x +1/ 4 sin^4 2x-1/ 8 sin^4 2x`

`=1/ 8 sin^4 2x-sin^2 2x+1`

`=1/ 8 (sin^4 2x-8sin^2 2x +16)-1`

`=1/ 8 (sin^2 2x-4)^2-1`

`\forall x\in RR` ta có:

`\qquad 0\le |sin2x| \le 1`

`=>0\le |sin2x|^2=sin^2 2x\le 1`

`=>-4\le sin^2 2x -4 \le -3`

`=>3\le |sin^2 2x-4|\le 4`

`=>9\le |sin^2 2x-4|^2=(sin^2 2x-4)^2\le 16`

`=>9/ 8 \le 1/ 8 (sin^2 2x-4)^2\le 16/8`

`=>9/8-1\le 1/ 8 (sin^2 2x-4)^2-1\le 2-1`

`=>1/ 8\le A\le 1`

$\\$

+) `A_{max}=1⇔|sin2x|=0<=>sin2x=0`

`<=>2x=kπ<=>x={kπ}/2\ (k\in ZZ)`

$\\$

+) `A_{min}=1/ 8⇔|sin 2x|=1<=>sin2x=±1`

`<=>2x=±π/2+k2π<=>x=±π/4+kπ\ (k\in ZZ)`

Vậy:

+) $GTLN$ của `A` bằng `1` khi `x={kπ}/2\ (k\in ZZ)`

+) $GTNN$ của `A` bằng `1/ 8` khi

`\qquad x=±π/4+kπ\ (k\in ZZ)`