Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH (H BC), AB=18cm,AC=24cm a) C/m AB ²=BH.BC b) Kẻ đường phân giác CD của ΔABC (D AB). Tính độ dài DA c) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với CD tại E và AH tại F. Trên đoạn thẳng CD lấy điểm G sao cho BA=BG. C/m BG FG

a)

Xét $\Delta BAH$ và $\Delta BCA$, ta có:

+   $\widehat{ABC}$ là góc chung

+   $\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $

$\to \Delta BAH\sim\Delta BCA\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}$

$\to A{{B}^{2}}=BH.BC$

b)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to B{{C}^{2}}={{18}^{2}}+{{24}^{2}}=900$

$\to BC=30cm$

Ta có $CD$ là phân giác $\widehat{ACB}$

$\to \dfrac{DA}{AC}=\dfrac{DB}{BC}=\dfrac{DA+DB}{AC+BC}=\dfrac{AB}{24+30}=\dfrac{18}{54}=\dfrac{1}{3}$

Với $\dfrac{DA}{AC}=\dfrac{1}{3}\to DA=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{1}{3}\cdot 24=8cm$

c)

Xét $\Delta BHF$ và $\Delta BEC$, ta có:

+   $\widehat{HBF}$ là góc chung

+   $\widehat{BHF}=\widehat{BEC}=90{}^\circ $

$\to \Delta BHF\sim\Delta BEC\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{BH}{BE}=\dfrac{BF}{BC}$

$\to BH.BC=BE.BF$

Mà $A{{B}^{2}}=BH.BC\left( gt \right)$

Và $AB=BG\left( gt \right)$

$\to B{{G}^{2}}=BE.BF$

$\to \dfrac{BG}{BE}=\dfrac{BF}{BG}$

Xét $\Delta BGF$ và $\Delta BEG$, ta có:

+   $\widehat{GBF}$ là góc chung

+   $\dfrac{BG}{BE}=\dfrac{BF}{BG}\left( cmt \right)$

$\to \Delta BGF\sim\Delta BEG\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{BGF}=\widehat{BEG}=90{}^\circ $

$\to BG\bot FG$