Tìm x,y thuộc N* và p là số nguyên tố : $p^{x}$ = $y^{4}$ + 4

Pt tương đương:

$(y^2-2y+2)(y^2+2y+2)=p^x$

Tồn tại 2 số $a,b$ saocho:

$y^2-2y+2=p^a$ và $y^2+2y+2=p^b$

Với $a,b\in N,a+b=x,a<b$

$(*)a=0\to y=1\to p^x=5\to p=5,x=1$(Nhận)

$(*)b=0\to y^2+2y+1=0$(Loại vì VT>0)

$(*)a,b>0$

$\to p|y^2-2y+2,p|y^2+2y+2$

$\to p|4y$

Mà $p$ nguyên tố nên $p|4$ hoặc $p|y$
$(*)p|4\to p|2\to p=2$

$(*)p|y\to p|4\to p|2\to p=2$

$\to y^4+4=2^x$

Nếu $x=1\to y^4+4=2$(Loại do VT>2)

Nếu $x=2$

$\to y^4+4=4\to y=0$(Loại)

Nếu $x>2$

$\to 8|2^x\to 8|y^4+4$

$y^2\equiv 0,1,4\pmod{8}\to y^4\equiv 0,1\pmod{8}\to y^4+4\equiv 4,5\pmod{8}$

Nên $x>2$ không thỏa.