Cho a,b,c thuộc Z, a + b + c chia hết cho 3; ab - bc - ca chia hết cho 3 CMR: ab - bc - ca chia hết cho 9

Ta có: $a + b + c \vdots 3 \to \left( {a + b} \right)\left( {a + b + c} \right) \vdots 3$ và $ab-bc-ca\vdots 3$ nên ta được: 

$\left( {a + b} \right)\left( {a + b + c} \right) + \left( {ab - bc - ca} \right) \vdots 3$

Suy ra được $a^2+b^2+3ab\vdots 3$

$\Rightarrow a^2+b^2\vdots 3$

Ta có với số nguyên $a$ chia cho $3$ thì dư $0,1,2$. $\Rightarrow a^2\equiv 0,1(\mod 2)$

Tương tự với $b^2\equiv 0,1 (\mod 2)$

Mà theo trên ta được $a^2+b^2\vdots 3$ nên $a^2,b^2$ chia hết cho $3$. Mà $3$ là số nguyên tố nên $a,b\vdots 3$

Do $a+b+c\vdots 3$ nên $c\vdots 3$

$\Rightarrow ab-bc-ca\vdots 9$.