tìm tất cả nghiệm của phương trình sin3x.cosx=sin2x thuộc (0;2pi)

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Ta có :  ` sin3x . cosx = sin 2x`

`⇔\frac{1}{2}( sin(3x-x) + sin(3x+x)) = sin2x`

`⇔\frac{1}{2}( sin2x + sin4x) = sin2x`

`⇔\frac{1}{2}( sin4x - sin2x) = 0`

`⇔( sin4x - sin2x) = 0`

`⇔sin4x=sin2x`

`⇔`$\left[\begin{matrix} 4x=2x+2k\pi\\ 4x=\pi-2x+2k\pi\end{matrix}\right.$

`⇔`$\left[\begin{matrix} 2x=2k\pi\\ 6x=\pi+2k\pi\end{matrix}\right.$

`⇔`$\left[\begin{matrix} x=k\pi\\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\end{matrix}\right.$ `(k \in \Z)`

Với `x = k\pi` thì để `0<x<2\pi` thì `k = 1` là thỏa mãn

`⇒`Với `x = k\pi` thì phương trình có 1 nghiệm trong đoạn  `(0;2\pi)`

Với `x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3} ` thì để `0<x<2\pi` thì 

`0<\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}<2\pi`

`⇒-\frac{\pi}{6}<\frac{k\pi}{3}<\frac{11\pi}{6}`

`⇒-\frac{\pi}{6}<\frac{2k\pi}{6}<\frac{11\pi}{6}`

`⇒-1<2k<11`

`⇒ k \in {0;1;2;3;4;5}`

`⇒`Với `x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}` thì phương trình có 6 nghiệm trong đoạn  `(0;2\pi)`

Vậy PT có tất cả 7 nghiệm trong đoạn `(0;2\pi)`