Cho 2 biểu thức A = 3 căn x trên (căn x) + 2 và B = x + 4 trên x - 4 trừ 2 trên (căn x) - 2 với x không âm, x khác 4. a) Chứng minh B = căn x trên (căn x) + 2. b) Tím số nguyên dương x lớn nhất thoả mãn A - B < 3/2.

Đáp án:

$\begin{array}{l}
Dkxd:x \ge 0;x \ne 4\\
a)\\
B = \dfrac{{x + 4}}{{x - 4}} - \dfrac{2}{{\sqrt x  - 2}}\\
 = \dfrac{{x + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \dfrac{2}{{\sqrt x  - 2}}\\
 = \dfrac{{x + 4 - 2\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{x + 4 - 2\sqrt x  - 4}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\\
b)A - B < \dfrac{3}{2}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} < \dfrac{3}{2}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{3}{2} < 0\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{4\sqrt x  - 3.\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{2\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} < 0\\
 \Leftrightarrow 4\sqrt x  - 3\sqrt x  - 6 < 0\\
 \Leftrightarrow \sqrt x  < 6\\
 \Leftrightarrow x < 36\\
 \Leftrightarrow 0 \le x < 36;x \ne 4
\end{array}$

Vậy số nguyên dương x lớn nhất thỏa mãn là $35$