Dựng tam giác ABC có 3 đườn cao cho trc là ha hb hc

Dưới đây là ý tưởng của me dựa theo sách đã làm:
Phân tích:
Gọi 3 cạnh của `triangleABC ` là `a,b,c`

Theo công thức diện tích:
`S_(ABC)=(a.h_a)/2=(b.h_b)/2=(c.h_c)/2`

`=>ah_a=bh_b=ch_c`

`=>a/h_b=b/h_a=c/[(h_a h_b)/h_c]`

`=>a,b,c` tỉ lệ với `h_a;h_b;(h_a.h_b)/h_c`

Biết `h_a;h_b;h_c ` ta dựng `k=(h_a.h_b)/h_c`

Do đó ta được một tam giác đồng dạng với tam giác phải dựng

Cách dựng: Dựng `triangleAB'C'` có `AB'=k,AC'=h_a;B'C'=h_b`

Dựng đường cao `AH'` 

Trên `AH' ` đặt `AH=h_a`

Qua `H ` dựng đường thẳng song song với `B'C'` , cắt `AB';AC' ` ở `B,C` ta được `triangleABC`

Chứng minh:

Gọi `BD;CE` là các đường cao của `triangleABC`

Ta đi chứng minh `BD=h_b;CE=h_c`

Tỉ số 2 đường cao bằng tỉ số nghịch đảo của 2 cạnh tương ứng nên:

`(AH)/(BD)=(AC)/(BC)`

`=>(h_a)/(BD)=(AC)/(BC)`

Lại có `(AC)/(BC)=(AC')/(B'C')=(h_a)/(h_b)`

DO đó `(h_a)/(BD)=(h_a)/(h_b)`

`=>BD=h_b`

Chứng minh tương tự `=>CE=h_c`

Biện luận:

Bài toán có 1 nghiệm hình `<=>` dựng được `triangleAB'C'`

`<=>|h_a-h_b|<(h_a.h_b)/(h_c)<h_a+h_b`
`<=>|1/(h_b)-1/(h_a)|<1/(h_c)<1/(h_a)+1/(h_b)`