Cho dãy số `a_1 = 14 ; a_2 = 144 ; a_3 = 1444 ; ........ ; a_n = 144....4 (n` số `4)`. Tìm tất cả số tự nhiên `n` sao cho `a_n` là số chính phương

$n=1\to a_1=14$(Loại)

$n=2\to a_2=144=12^2$(Nhận)

$n=3\to a_3=1444=38^2$(Nhận)

$n=4\to a_4=14444$(Loại)

Xét $n>4$

Ta giả sử $a_n$ là số chính phương với $n>4$

Đặt: $a_n=x^2(x\in N^*)$

$\to 144...4=x^2$

$\to 100...00 + 444...4 = x^2$

Đặt $100...0=10^y(y\in N^*)$

$\to 10^y + 44...4=x^2$

Dễ thấy $10^y, 44...4$ chẵn nên $x^2$ chẵn $\to x$ chẵn

Đặt $x=2k(k\in N^*)$

$\to 10^y + 44...4=4k^2$

$\to \dfrac{10^y}{4}+11...1=k^2$

$\to 5^y . 2^{y-2} +111...1=k^2$

$5^y\equiv 1\pmod{4}, 2^{y-2}\equiv 0\pmod{4}$

$\to 5^y . 2^{y-2}\equiv 0\pmod{4}$

Ta có: $111...1=111...11  00 +8+3\equiv 0 +0+3\equiv 3\pmod{4}$

$\to 5^y . 2^{y-2}+111..1\equiv 0+3\equiv 3\pmod{4}$

Điều này vô lí vì $k^2\equiv 0,1\pmod{4}$

Vậy $n=2,n=3$