Cho tam giác ABC có góc BAC = 90 độ, AB< AC, đường cao AH. Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB a) CM rằng MN=AH b) CM rằng AM.AB=AN.AC=AH^2 c) Gọi K là giao điểm của NM và BC. CM rằng KB.KC= KH^2 d) Gọi O là trung điểm của BC, I là giao điểm của MN và AH.CM rằng OI vuông góc với AK Chỉ cần làm phần c, d thôi ạ

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $AB\perp AC, HM\perp AB, HN\perp AC$

$\to AMHN$ là hình chữ nhật

$\to MN=AH$

b.Xét $\Delta AMH,\Delta ABH$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AMH}=\widehat{AHB}(=90^o)$

$\to \Delta AMH\sim\Delta AHB(g.g)$

$\to \dfrac{AM}{AH}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AH^2=AM\cdot AB$

Tương tự chứng minh được $AH^2=AN\cdot AC$

$\to AM\cdot AB=AN\cdot AC=AH^2$

c.Ta có: $AMHN$ là hình chữ nhật

$\to \widehat{AMN}=\widehat{AHN}=90^o-\widehat{NHC}=\widehat{NCH}=\widehat{NCK}$

Xét $\Delta KBM,\Delta KNC$ có:

Chung $\hat K$

$\widehat{KMB}=\widehat{AMN}=\widehat{NCK}$

$\to \Delta KBM\sim\Delta KNC(g.g)$

$\to \dfrac{KB}{KN}=\dfrac{KM}{KC}$

$\to KM\cdot KN=KB\cdot KC$

Xét $\Delta KMH,\Delta KNH$ có:

Chung $\hat K$

$\widehat{KHM}=90^o-\widehat{MHA}=\widehat{MAH}=\widehat{MNH}=\widehat{KNH}$

$\to \Delta KMH\sim\Delta KHN(g.g)$

$\to \dfrac{KM}{KH}=\dfrac{KH}{KN}$

$\to KH^2=KM\cdot KN$

$\to KB\cdot KC=KH^2(=KM\cdot KN)$

d.Gọi $AO\cap KN=D$

Ta có: $AMHN$ là hình chữ nhật, $AH\cap MN=I$

$\to I$ là trung điểm $AH, MN$ và $IA=IH=IM=IN$

Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A, O$ là trung điểm $BC\to OA=OB=OC=\dfrac12BC$

$\to \Delta OAC$ cân tại $O$

$\to \widehat{OAC}=\widehat{OCA}$

$\to \widehat{DAN}=\widehat{OCA}=\widehat{HCA}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{HAM}=\widehat{IAM}=\widehat{IMA}=\widehat{AMN}$

Mà $\widehat{AND}=\widehat{ANM}$

$\to \Delta NDA\sim\Delta NAM(g.g)$

$\to \widehat{NDA}=\widehat{NAM}=90^o$

$\to \Delta ADN$ vuông tại $D$

$\to AO\perp MN$

$\to KI\perp AO$

Mà $AH\perp BC\to AI\perp KO$

$\to I$ là trực tâm $\Delta AKO$

$\to OI\perp AK$