Cho tam giác ABC vuông tại A có AB<AC, đường cao AH .Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD=BA

a) chứng minh góc BAD=góc ADB

b)kẻ DK vuông AC tại A .Chứng minh tam giác AHD=tam giác AKD và chứng minh AD là đường trung trực của KH

c)chứng minh AB+AC<BC +2AH

`a)`
Ta có : `BD = BA` ( gt )

`-> \triangle ABC` cân tại `B`

`-> \hat(BAD) = \hat(ADB)`

`b)`

Ta có: $\begin{cases} DK ⊥ AC (gt)\\AB ⊥ AC \\ \end{cases}$

`-> DK //// AB`

`-> \hat(KDA) = \hat(DAB)` ( 2 góc so le trong )

Mà `\hat(DAB) = \hat(ADB)` ( cmt )

`-> \hat(KDA) = \hat(ADB)`

Xét `\triangle AHD` và `\triangle ADK` có:

$\begin{cases} \widehat{AHD} = \widehat{DHK} ( = 90^o) \\ \widehat{ADB} = \widehat{KDA} (cmt)\\\end{cases}$

`-> \triangle HDA` $\backsim$`\triangle KDA ( g.g )` 

`-> \hat(HAD) = \hat(DAK)`

`-> AD` là tia phân giác `\hat(HAK)`

Xét `\triangle AHD` và `\triangle ADK` có:

$\begin{cases} AD \text{ chung}\\\widehat{HAD} = \widehat{DAK} ( cmt)\\\widehat{AHD} = \widehat{DHK} ( = 90^o) \end{cases}$

`-> \triangle ADH = \triangle ADK (  g.c.g)`

`-> AH = AK` ( `2` cạnh tương ứng )

`-> \triangle AHK` cân tại `A`

Mà `AD` là tia phân giác `\hat(HAK)` ( cmt )

`-> AD` là đường trung trực của `\triangle AHK`

`-> AD` là đường trung trực của `HK`

`c)`

Xét `\triangle AHB` có:

`AB < AH + HB` `(` Bất đẳng thức `\Delta)` `( 1 )`

Xét `\triangle AHC` có:
` AC < AH + HC` `(` Bất đẳng thức `\Delta)` `( 2 )`

Lấy `( 1 ) + ( 2 )` ta được:

`AB + AC < AH + HB + AH + HC`

Mà `HB + HC = BC`

`-> AB + AC < BC + 2AH`