Tính diện tích đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của pt : Tanx +tan( x+pi/4) =1

Đáp án: $S_{ABCD}=1,9$ (đơn vị diện tích)

Giải thích các bước giải:

Đk: $\cos x\ne 0$ và $\cos (x+\dfrac{\pi}{4})\ne 0$

Ta có: $\tan x+\tan(x+\dfrac{\pi}{4})=1$

$\Rightarrow \dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{sin(x+\dfrac{\pi}{4})}{\cos(x+\dfrac{\pi}{4})}=1$

$\Rightarrow \dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\sin x+\cos x}{\cos x-\sin x}=1$

$\Rightarrow \sin x(\cos x-\sin x)+\cos x(\sin x+\cos x)=\cos x(\cos x-\sin x)$

$\Rightarrow 2\sin x\cos x+{\cos}^2x-{\sin}^2x={\cos}^2x-\sin x\cos x$

$\Rightarrow 3\sin x\cos x-{\sin }^2x=0$

$\Rightarrow \sin x(3\cos x-\sin x)=0$

$\Rightarrow $ TH1: $\sin x=0\Rightarrow x=\pi+k\pi$

Chọn 2 điểm có nghiệm là $\alpha=0$ và $\beta=\pi$ biểu diễn bởi điểm $B$ và $D$

TH2: $\dfrac{\sin x}{\cos x}=3$ hay $\tan x=3$

$\Rightarrow x=\arctan 3+k\pi$

Chọn 2 nghiệm là: $71,56^o$ và $-108,43^o$ biểu diễn bởi điểm $A$ và $C$

Tứ giác tạo bỏi các điểm trên đường tròn lượng giác là tứ giác $ABCD$

Theo tính chất góc ngoài tam giác $\widehat{AOD}=\widehat{ABD}+\widehat{BAO}=2\widehat{ABD}$ (do $\Delta OAB$ cân đỉnh $O$)

$\Rightarrow \widehat{ABD}=\dfrac{71,56^o}{2}=35,78^o$

$\Delta ABD$ nội tiếp đường tròn đường kính $BD$

$\Rightarrow \Delta ABD$ vuông tại $A$

$\Rightarrow \sin\widehat{ABD}=\dfrac{AD}{BD}$

$\Rightarrow AD=BD\sin\widehat{ABD}=2.\sin 35.78^o=1,17$

$\Rightarrow AB=\sqrt{BD^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1,17^2}=1,62$

$\Rightarrow S_{ABCD}=1,17.1,62=1,9$ (đơn vị diện tích)