Cho a,b,c >0, a+b+c=6 CHứng minh rằng : $\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}$ +$\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}$ +$\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}$ $\geq$ 2

Đáp án:

ĐPCM. 

Giải thích các bước giải:

Đặt $A=\sum\limits_{\text{cyc}}\dfrac{a}{\sqrt{b^3+1}}$

$=\sum\limits_{\text{cyc}}\dfrac{a}{\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}}$

Áp dụng BĐT Cauchy ta được:

$\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}\le \dfrac{b+1+b^2-b+1}{2}=\dfrac{b^2+2}{2}\\\to \dfrac{a}{\sqrt{b^3+1}}\ge \dfrac{2a}{b^2+2}\\\to A\ge \sum\limits_{\text{cyc}}\dfrac{2a}{b^2+2}$

Mặt khác:

$\dfrac{2a}{b^2+2}=\dfrac{a(b^2+2)-ab^2}{b^2+2}=a-\dfrac{ab^2}{b^2+2}=a-\dfrac{2ab^2}{b^2+b^2+4}$
(Thầm hiểu tại sao tách $b^2+b^2+4$ là do điểm rơi $a=b=c=2\to b^2=4$)

Áp dụng BĐT Cauchy ta được:

$b^2+b^2+4\ge 3\sqrt[3]{4b^2}\\\to \dfrac{2ab^2}{b^2+b^2+4}\le \dfrac{2ab^2}{3\sqrt[3]{4b^2}}=\dfrac{a\sqrt[3]{2^3 . b^6}}{3\sqrt[3]{4b^2}}=\dfrac{a.\sqrt[3]{b.b.2}}{3}$

Áp dụng BĐT Cauchy ta được:

$\sqrt[3]{b .b.2}\le \dfrac{1}{3}(b+b+2)\\\to \dfrac{2a}{b^2+2}\ge a-\dfrac{2a+2ab}{9}\\\to A\ge a+b+c-\dfrac{2a+2b+2c}{9}-\dfrac{2ab+2bc+2ac}{9}=\dfrac{14}{3}-\dfrac{2.\sum\limits_{\text{cyc}}ab}{9}$

Áp dụng BĐT Cauchy ta được:

$\sum\limits_{\text{cyc}}ab \le \sum\limits_{\text{cyc}}a^2\\\to \sum\limits_{\text{cyc}}ab\le \dfrac{6^2}{3}=12\\\to A\ge 2$

Dấu "=" xảy ra khi: $a=b=c=2$