Cho ba số thực dương `a,b,c` thỏa mãn: `1/(1+a)+(43)/(43+2b)<=(4c)/(4c+47)` Tìm `GTN N` của `P=a.b.c`

Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương $\dfrac{1}{1+a},\dfrac{43}{43+2b}$ ta có:

$\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{43}{43+2b}\ge 2\sqrt{\dfrac{43}{(1+a)(43+2b)}}\\\Rightarrow \dfrac{4c}{4c+47}\ge 2\sqrt{\dfrac{43}{(1+a)(43+2b)}}(1)$

Từ giả thiết $\Rightarrow \dfrac{1}{1+a}-\dfrac{4c}{4c+47}\le \dfrac{-43}{43+2b}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{1+a}+\dfrac{-4c+4c+47}{4c+47}\le \dfrac{-43+2b+43}{43+2b}\\\Rightarrow \dfrac{2b}{43+2b}\ge \dfrac{1}{1+a}+\dfrac{47}{4c+47}$

Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương $\dfrac{1}{1+a},\dfrac{47}{4c+47}$ ta có:

$\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{47}{4c+47}\ge 2\sqrt{\dfrac{47}{(1+a)(4c+47)}}\\\Rightarrow \dfrac{2b}{43+2b}\ge 2\sqrt{\dfrac{47}{(1+a)(4c+47)}}(2)$

Từ giả thiết $\Rightarrow \dfrac{1}{1+a}\ge \dfrac{4c}{4c+47}-\dfrac{43}{43+2b}$

$\Rightarrow \dfrac{1+a-1}{1+a}\ge \dfrac{4c+47-4c}{4c+47}+\dfrac{43}{43+2b}\\\Rightarrow \dfrac{a}{1+a}\ge \dfrac{47}{4c+47}+\dfrac{43}{43+2b}$

Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương $\dfrac{47}{4c+47},\dfrac{43}{43+2b}$ ta có:

$\dfrac{47}{4c+47}+\dfrac{43}{43+2b}\ge 2\sqrt{\dfrac{2021}{(4c+47)(43+2 b)}}\\\Rightarrow \dfrac{a}{1+a}\ge  2\sqrt{\dfrac{2021}{(4c+47)(43+2b)}}(3)$

Nhân theo vế $(1).(2).(3)$ ta có:

$\dfrac{4c.2b.a}{(1+a)(43+2b)(4c+47)}\ge \dfrac{8.43.47}{(1+a)(43+2b)(4c+47)}\\\Rightarrow abc\ge 2021\\\Rightarrow P\ge 2021$

Dấu "=" xảy ra khi:

$\begin{cases} \dfrac{1}{1+a}=\dfrac{43}{43+2b}\\\dfrac{1}{1+a}=\dfrac{47}{4c+47}\\\dfrac{47}{4c+47}=\dfrac{43}{43+2b} \\\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{43}{43+2b}=\dfrac{4c}{4c+47}\end{cases}\\\Rightarrow (a;b;c)=\left(2;43;\dfrac{47}{2}\right)$