chứng minh BĐT mọi người làm giúp em với ạ

Đáp án + giải thích các bước giải:

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu:

$\\$

`1/x+1/y+1/z>=9/(x+y+z)`

$\\$

`->1/25(1/x+1/y+1/z)^2>=1/25(9/(x+y+z))^2`

$\\$

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu:

$\\$

`1/25(9/(x+y+z))^2+1/(2x+2y+1)^2+1/(2y+2z+1)^2+1/(2z+2x+1)^2`

$\\$

`>=(9+1+1+1)^2/(25(x+y+z)^2+(2x+2y+1)^2+(2y+2z+1)^2+(2z+2x+1)^2)`

$\\$

`=144/(25(x+y+z)^2+(2x+2y+1)^2+(2y+2z+1)^2+(2z+2x+1)^2)`

$\\$

Vậy ta cần chứng minh:

$\\$

`25(x+y+z)^2+(2x+2y+1)^2+(2y+2z+1)^2+(2z+2x+1)^2<=95(x^2+y^2+z^2)+15`

$\\$

`->25(x+y+z)^2+[4(x^2+y^2)+4(x+y)+8xy+1]+[4(y^2+z^2)+4(y+z)+8yz+1]+[4(z^2+x^2)+4(z+x)+8zx+1]<=95(x^2+y^2+z^2)`

$\\$

`->25(x+y+z)^2+8(x^2+y^2+z^2)+8(x+y+z)+8(xy+yz+zx)+3<=95(x^2+y^2+z^2)+15`

$\\$

`->25(x+y+z)^2+8(x+y+z)+8(xy+yz+zx)<=87(x^2+y^2+z^2)+12`

$\\$

`->25(x+y+z)^2+8(x+y+z)+8(xy+yz+zx)<=87[(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)]+12`

$\\$

`->25(x+y+z)^2+8(x+y+z)+8(xy+yz+zx)<=87(x+y+z)^2-174(xy+yz+zx)+12`

$\\$

`->62(x+y+z)^2-182(xy+yz+zx)-8(x+y+z)+12>=0`

$\\$

Ta có bất đẳng thức `(x+y+z)^2>=3(xy+yz+zx)`

$\\$

`->xy+yz+zx<=(x+y+z)^2/3 `

$\\$

`->-(xy+yz+zx)>=-(x+y+z)^2/3`

$\\$

`->62(x+y+z)^2-182(xy+yz+zx)-8(x+y+z)+12`

$\\$

`>=62(x+y+z)^2-182 (x+y+z)^2/3-8(x+y+z)+12`

$\\$

`=4/3(x+y+z)^2-8(x+y+z)+12`

$\\$

Vậy ta cần chứng minh:

$\\$

`4/3(x+y+z)^2-8(x+y+z)+12>=0`

$\\$

`->(x+y+z)^2-6(x+y+z)+9>=0`

$\\$

`->(x+y+z-3)^2>=0` (luôn đúng)

$\\$

Vậy ta có điều phải chứng minh

$\\$

Dấu bằng xảy ra khi `x=y=z=1`