Cho hình chữ nhật ABCD. M là hình chiếu của A trên BD a) Chứng minh: ΔABD đồng dạng với ΔMAD. b) Nếu AB = 8 cm, AD = 6 cm, tính đoạn DM. c) Đường thẳng AM cắt các đường thẳng DC và BC thứ tự tại N và P. Chứng minh: AM^2 = MN . MP d) Lấy điểm E trên cạnh AB, F trên cạnh BC; EF cắt BD ở K. Chứng minh: $\frac{AB}{BE}$ + $\frac{BC}{BF}$ = $\frac{BD}{BK}$

Gửi~

0 ưng b/c ._.

a) Xét $2$ Δ vuông: $\text{ΔABD}$ và $\text{ΔMAD}$

Ta có:

$\left.\begin{matrix} \widehat{D_1} chung\\\widehat{A_{1}} = \widehat{B_{1}}(cùngphụ\widehat{D_{1}}) \\ \end{matrix}\right\}$

$⇒$ $\text{ΔABD}$ $\backsim$ $\text{ΔMAD}$ (g.g.g)

b) Có: AB = $8$, AD = $6$ 

$⇒$ $BD^2$ = $AB^2$ + $AD^2$ (Pytago) = $8^2$ + $6^2$ ⇒ $\text{BD=10(cm)}$

Lại có: $S_Δ$ $\text{ABD}$ = $\dfrac{1}{2}$ $\text{AD.AB}$ = $\dfrac{1}{2}$ $\text{AM.BD}$

⇒ $\text{AD.AB=AM.BD⇒AM=}$ $\dfrac{AB.AD}{BD}$ = $\text{4,8(cm)}$

Mà $DM^2$ = $AD^2$ - $AM^2$

                     = $8^2$ - $4,8^2$=  $\text{40,96}$

⇒$\text{DM=6,4(cm)}$

c) $AM^2$ = $\text{MN.MP}$

Xét $\text{ΔADN.}$ Theo hệ thức lượng ta có:

$AD^2$ = $\text{AM.AN}$

Mà $\text{AD=6(cm),}$ $\text{AM=4,8(cm)}$

⇒ $\text{AN=7,5(cm)}$ 

⇒ $\text{MN=AN-AM=7,5-4,8=2,7(cm)}$

Xét $\text{ΔADN}$ và $\text{ΔPCN}$ ta có:

$\widehat{D}$ = $\widehat{C}$ = $90^o$

$\widehat{N_1}$ = $\widehat{N_2}$ (đối đỉnh)

⇒ $\text{ΔADN$\backsim$ΔPCN}$ ⇒ $\dfrac{NP}{AN}$ = $\dfrac{CN}{DN}$

Mà $\text{AN=7,5;}$ $\text{DN=}$ $\sqrt{AN^2-AD^2}$ = $\text{4,5(cm)}$

$\text{CN=DC-DN=8-4,5=3,5(cm)}$

$\left.\begin{matrix} \text{⇒NP=AN.$\dfrac{CN}{DN}$=$7,5.\dfrac{3,5}{4,5}$}=  \dfrac{35}{6}\\⇒text{MN.MP=2,7.}\dfrac{128}{15}=\text{23,04}\\ \end{matrix}\right\}$ ⇒$AM^2$= $MN.MP$

d) $\dfrac{AB}{BE}+$$\dfrac{BC}{BF}=$$\dfrac{BD}{BK}⇒$ $\dfrac{BK_1}{BK}+$$\dfrac{BK_2}{BK}.$ $\Longleftrightarrow$ $\text{$BK_1$+$BK_2$=BD}$

Từ $\text{A}$ kẻ $\text{$AK_1$//EF($K_1$$\in$BD)}$

$\text{C}$ kẻ $\text{$CK_2$//EF($K_2$$\in$BD)}$

⇒ $\dfrac{AB}{BE}=$$\dfrac{BK_1}{BK}$ và $\dfrac{BC}{BF}=$$\dfrac{BK_2}{BK}$

Do đó đẳng thức cân cm ⇔ $BK_1$+$BK_2$ = $\text{BD}$

Xét $\text{Δ$AK_1$B}$ và $\text{Δ$CK_2$D}$ ta có:

$\widehat{MDC}$ = $\widehat{K_1BA}$ $\text{(AB//CD)}$ ⇒ Δ$AK_{1}B=ΔCK_2D(gcg)$  

$\widehat{K_2CD}$ = $\widehat{K_1AB}$ (do $AK_{1}//CK_2$ và $\text{AB//CD)}$ ⇒ $DK_2$ = $BK_1$

$\text{AB=CD}$

⇒ $\text{$BK_1$+$BK_2$=$DK_2$+$BK_2$=BD}$

$oSaa$