cho $a,b,c$ là các số thực thoả mãn : $(3a + 3b + 3c)^3 = 24+ (3a + b - c)^3 + (3b + c - a)^3 + (3c + a - c)^3 $ chứng minh rằng : $(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) = 1$

\(\begin{array}{l}
(3a + 3b + 3c)^3 = 24+ (3a + b - c)^3 + (3b + c - a)^3 + (3c + a - c)^3\\
\text{Đặt}\ \begin{cases}x = 3a + b - c\\y = 3b + c - a\\z = 3c + a - b\end{cases}\Rightarrow x+y+z = 3a + 3b + 3c\\
\text{Phương trình trở thành:}\\
\quad (x+y+z)^3 = 24 + x^3 + y^3 + z^3\\
\Leftrightarrow (x+y+z)^3 - (x^3 +y^3 + z^3) = 24\\
\Leftrightarrow 3(x+y)(y+z)(z+x) = 24\\
\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x) = 8\\
\Leftrightarrow (2a+4b)(2b+4c)(2c+4a) = 8\\
\Leftrightarrow (a+2b)(b+2c)(c+2a) = 1
\end{array}\)